【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設函數(shù),若函數(shù)有兩個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)對求導,得到,分別討論和情況下的正負,從而得到函數(shù)的單調(diào)性. (2)由條件可得,分析的單調(diào)性,得到的最小值,令可求得的范圍.
(1)∵
∴函數(shù)的定義域為,且
若時 則,從而函數(shù)在上單調(diào)遞增
若時 令,解得,令,解得,
從而函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
(2)由(1)知,所以 則
若時 則,從而函數(shù)在上單調(diào)遞增
于是在上至多只有一個零點與題意不符
從而(舍去)
若時 令,解得,令,解得,
從而函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
則
由函數(shù)有兩個不同的零點
則 解得
當時,,
從而 函數(shù)有兩個不同的零點
綜上所述:
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【題目】6名教師分配到3所薄弱學校去支教,每個學校至少分配一名教師,甲乙兩人不能去同一所學校,丙丁兩人必須去同一所學校,共有________種分配方案(用數(shù)字作答).
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【題目】已知函數(shù)
(1)求證:
(2)若函數(shù)的圖象與直線沒有交點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù),則是否存在實數(shù),使得的最小值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】類比平面幾何中的定理:△ABC中,若DE是△ABC的中位線,則有S△ADE∶S△ABC=1∶4;若三棱錐A-BCD有中截面EFG∥平面BCD,則截得三棱錐的體積與原三棱錐體積之間的關系式為________.
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【題目】有編號為1,2,3…n的n個學生,入座編號為1,2,3…n的n個座位,每個學生規(guī)定坐一個座位, 設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為, 已知時, 共有6種坐法.
(1)求的值;
(2)求隨機變量的概率分布列及數(shù)學期望.
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【題目】“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”是“函數(shù)在上有反函數(shù)”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件
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【題目】一臺機器使用的時間較長,但還可以使用,它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機械零件有一些會有缺點,每小時生產(chǎn)有缺點零件的多少,隨機器的運轉(zhuǎn)的速度而變化,下表為抽樣試驗的結(jié)果:
轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒) | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
每小時生產(chǎn)有缺點的零件數(shù)y(件) | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)畫散點圖;
(2)如果y對x有線性相關關系,求回歸直線方程;
(3)若實際生產(chǎn)中,允許每小時的產(chǎn)品中有缺點的零件最多為89個,那么機器的運轉(zhuǎn)速度應控制在什么范圍內(nèi)?(參考數(shù)值:)
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【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,橢圓C的離心率為,且橢圓C過點.
(1)求橢圓C的標準方程:
(2)若直線l:與橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),且以為直徑的圓過橢圓C的右頂點,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.
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