【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,橢圓C的離心率為,且橢圓C過點.

1)求橢圓C的標準方程:

2)若直線l與橢圓C相交于AB兩點(A,B不是左右頂點),且以為直徑的圓過橢圓C的右頂點,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.

【答案】12)證明見解析;定點坐標為

【解析】

(1) 由題意結合離心率首先確定的關系,然后結合橢圓經過的點即可確定橢圓方程;

(2) 把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系,再利用以為直徑的圓過橢圓的右頂點D,可得,即可得出的關系,從而得出答案.

解:(1)由題意設橢圓的標準方程為),,橢圓C過點,,解得

橢圓的標準方程為.

2)設,,直線代入橢圓方程得

,

,即,則

,.

,

因為以為直徑的圓過橢圓的右焦點,

,即,,

.

解得,,且均滿足,

時,l的方程為,直線過定點,與已知矛盾;

時,l的方程為,直線過定點.

所以,直線l過定點,定點坐標為.

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0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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