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已知角A是△ABC的內角，向量
m
=(1 ， cos2A)，
n
=(cosA ， 1)，且
m
•
n
=0，f(x)=
3
sin2x+cos2x，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函數f(x+
A
2
)的單調遞增區(qū)間．
分析：（Ⅰ）由
m
•
n
=0，求出cosA的值，再由cosA的值確定角A的大小．
（Ⅱ）化簡函數f(x+
A
2
)的解析式到 2sin（2x+
π
3
），利用正弦函數的單調增區(qū)間，
求出此函數的單調區(qū)間，即由 2kπ-
π
2
≤2x+
π
2
≤2kπ+
π
2
，解出x的范圍，即得
函數f(x+
A
2
)的單調增區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）∵
m
=(1 ， cos2A)，
n
=(cosA ， 1)，且
m
•
n
=0，
∴cosA+cos2A=0?2cos2A+cosA-1=0，（2分）
∴cosA=
1
2
或cosA=-1，（4分）
∵角A是△ABC的內角，∴0＜A＜π，
∴cosA=
1
2
?A=
π
3
（6分）

（Ⅱ）∵f(x)=
3
sin2x+cos2x=2(
3
2
sin2x+
1
2
cos2x)=2sin(2x+
π
6
)（8分）
∴f(x+
A
2
)=2sin(2x+
π
6
+
π
6
)=2sin(2x+
π
3
)（9分）
由 2kπ-
π
2
≤2x+
π
2
≤2kπ+
π
2
，
得 kπ-
5π
12
≤x≤kπ+
π
12
，k∈Z（11分）
∴函數f(x+
A
2
)的單調遞增區(qū)間為[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]k∈Z（12分）
點評：本題考查平面向量的數量積的運算，兩角和與差的三角函數，正弦函數的單調增區(qū)間[2kπ-
π
2
，2kπ+
π
2
]．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sin2A，cos2A)，
n
=(-1，1)，
m
•
n
=-1．
（1）求向量
m
與
n
的夾角；
（2）若角A是△ABC的最大內角且所對的邊長a=2，sinBsinC=cos2
A
2
．求角B，C所對的邊長b，c．

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[　　]

A．－

B．

C．

D．－

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已知角A是△ABC的內角，向量數學公式，數學公式，且數學公式，數學公式，
（Ⅰ）求角A的大��；
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已知角A是△ABC的內角，向量，，且，，
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）求函數的單調遞增區(qū)間．

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