Question

已知橢圓C與雙曲線x²-y²=1共焦點(diǎn)，且下頂點(diǎn)到直線x+y-2=0的距離為

3 2

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若一直線l₂：y=kx+m與橢圓C相交于A、B（A、B不是橢圓的頂點(diǎn)）兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過橢圓的上頂點(diǎn)，求證：直線l₂過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)闄E圓C與雙曲線x²-y²=1共焦點(diǎn)，所以可根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出橢圓中的c值，再根據(jù)下頂點(diǎn)到直線x+y-2=0的距離為

3 2

2

，可求出b的值，利用a，b，c的關(guān)系式，就可得到a的值，這樣橢圓C的方程可得．
（2）把y=kx+m與（10中求出的橢圓方程聯(lián)立，求出x₁+x₂，x₁x₂，y₁+y₂，y₁y₂，再根據(jù)以AB為直徑的圓過橢圓的上頂點(diǎn)，所以AQ⊥BQ，求出m的值，就可判斷出直線l₂過定點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵雙曲線x2-y2=1的焦點(diǎn)為F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)
∴橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)
設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意得

|-b-2|

2

=

3 2

2

，解得b=1．∴a=

3

．
∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．
（2）橢圓的上頂點(diǎn)為Q（0，1），
由方程組

y=kx+m x2 3 +y2=1

得

x2

3

+(kx+m)2=1，
即(

1

3

+k2)x2+2kmx+m2-1=0
∵直線l₂：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，
∴△=4k2m2-4(

1

3

+k2)(m2-1)=4(k2-

1

3

m2+

1

3

)＞0，
即3k²-m²+1＞0．
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1+x2=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3(m2-1)

1+3k2

，
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+3k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

3k2(m2-1)

1+3k2

-

6k2m2

1+3k2

+m2=

m2-3k2

1+3k2

．
∵以AB為直徑的圓過橢圓的上頂點(diǎn)Q（0，1），
∴AQ⊥BQ，∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=0，
即x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0
∴

3(m2-1)

1+3k2

+

m2-3k2

1+3k2

-

2m

1+3k2

+1=0，
化簡得2m²-m-1=0，
∴m=1或m=-

1

2

．
當(dāng)m=1時(shí)，直線l₂：y=kx+1過定點(diǎn)Q（0，1），與已知矛盾；
當(dāng)m=-

1

2

時(shí)，滿足3k²-m²+1＞0，
此時(shí)直線l2：y=kx-

1

2

過定點(diǎn)(0，-

1

2

)，
∴直線l₂過定點(diǎn)(0，-

1

2

)．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓方程的求法，以及直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，做題時(shí)要認(rèn)真分析．