Question

（2007•河北區(qū)一模）已知橢圓C的方程為 

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），過其左焦點(diǎn)F₁（-1，0）斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若

OP

+

OQ

與

a

=（-3，1）共線，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：x+y-

1

2

=0，在l上求一點(diǎn)M，使以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)且過M點(diǎn)的雙曲線E的實(shí)軸最長，求點(diǎn)M的坐標(biāo)和此雙曲線E的方程．

Answer 1

分析：（I）把直線PQ的方程代入橢圓方程點(diǎn)到根與系數(shù)的關(guān)系，利用

OP

+

OQ

與

a

=（-3，1）共線，及a²=b²+1即可解出．
（II）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F₂，則易知F₁（-1，0）F₂（1，0），直線l的方程為：x+y-

1

2

=0，
因?yàn)镸在雙曲線E上，要雙曲線E的實(shí)軸最大，只須||MF₁|-|MF₂||最大，設(shè)F₂（1，0）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為F₂'，則可求F₂'（

1

2

，-

1

2

），則直線F₁F₂'與直線l的交點(diǎn)為所求M，根據(jù)2a′=||MF₁|-|MF₂||=||MF₁|-|MF₂'||≤|F₁F₂'|即可證明．

解答：解：（Ⅰ）將直線PQ的方程為y=x+1，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，
化簡得（a²+b²）x²+2a²x+a²-a²b²=0．
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則 x1+x2=-

2a2

a2+b2

．  
由

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)，

OP

+

OQ

與

a

=（-3，1）共線，得3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0．
∴3（x₁+x₂+2）+（x₁+x₂）=0．
∴x1+x2=-

3

2

，即-

2a2

a2+b2

=-

3

2

，∴a²=3b²．  
又∵a²=b²+1，∴a2=

3

2

，b2=

1

2

．
∴橢圓C的方程為

2x2

3

+2y2=1． 
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F₂，則易知F₁（-1，0）F₂（1，0），
直線l的方程為：x+y-

1

2

=0，
因?yàn)镸在雙曲線E上，要雙曲線E的實(shí)軸最大，只須||MF₁|-|MF₂||最大，
設(shè)F₂（1，0）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為F₂'，
則可求F₂'（

1

2

，-

1

2

），則直線F₁F₂'與直線l的交點(diǎn)為所求M，
直線F₁F₂'的方程為y-0=

0-(- 1 2 )

-1- 1 2

(x+1)，化為y=-

1

3

x-

1

3

．
聯(lián)立

y=-x+ 1 2 y=- 1 3 x- 1 3

解得M（

5

4

，-

3

4

）．
又2a′=||MF₁|-|MF₂||=||MF₁|-|MF₂'||≤|F₁F₂'|=

10

2

，
∴a′max=

10

4

，b′=

6

4

．
故所求雙曲線E方程為：

8x2

5

-

8y2

3

=1．

點(diǎn)評：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)分別在直線異側(cè)而如何在直線上找一點(diǎn)使得此點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之差的絕對值最大問題等是解題的關(guān)鍵．