【題目】如圖：在直三棱柱中，，，是棱上一點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且平面.

（1）求證：；

（2）求二面角的正弦值；

（3）若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成的角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)，由平面，利用線面平行的性質(zhì)，可得，由是的中點(diǎn)，證得為的中點(diǎn)；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角的正弦值；

（3）在第二問的基礎(chǔ)上，設(shè)，根據(jù)直線與平面所成的角的正弦值，求出，求出線段的長(zhǎng)

（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)

∵平面，平面，平面平面，∴.

∵為正方形的中心，∴.∴.

∵，∴.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，，

設(shè)平面的法向量為，又

則，令，得，

設(shè)平面的法向量為，又

則則，令，得，

∴.

∴.

∴二面角的正弦值為.

（3）設(shè)，其中

∴

∵，∴

∴，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于由正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，若對(duì)任意，“且，也是中的項(xiàng)，則稱為數(shù)列”.設(shè)數(shù)列|滿足，..

（1）請(qǐng)給出一個(gè)的通項(xiàng)公式，使得既是等差數(shù)列也是“數(shù)列”，并說明理由；

（2）根據(jù)你給出的通項(xiàng)公式，設(shè)的前項(xiàng)和為，求滿足的正整數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)，，為拋物線上的不同三點(diǎn)，點(diǎn)，且.求證：直線過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在我國(guó)，大學(xué)生就業(yè)壓力日益嚴(yán)峻，伴隨著政府政策引導(dǎo)與社會(huì)觀念的轉(zhuǎn)變，大學(xué)生創(chuàng)業(yè)意識(shí)，就業(yè)方向也悄然發(fā)生轉(zhuǎn)變某大學(xué)生在國(guó)家提供的稅收，擔(dān)保貸款等很多方面的政策扶持下選擇加盟某專營(yíng)店自主

創(chuàng)業(yè)，該專營(yíng)店統(tǒng)計(jì)了近五年來創(chuàng)收利潤(rùn)數(shù)（單位：萬元）與時(shí)間（單位：年）的數(shù)據(jù)，列表如下：

1

2

3

4

5

2.4

2.7

4.1

6.4

7.9

（Ⅰ）依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說明（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）．（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）：

（Ⅱ）該專營(yíng)店為吸引顧客，特推出兩種促銷方案．

方案一：每滿500元可減50元；

方案二：每滿500元可抽獎(jiǎng)一次，每次中獎(jiǎng)的概率都為，中獎(jiǎng)就可以獲得100元現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立．

①某位顧客購(gòu)買了1050元的產(chǎn)品，該顧客選擇參加兩次抽獎(jiǎng)，求該顧客獲得100元現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)的概率．

②某位顧客購(gòu)買了1500元的產(chǎn)品，作為專營(yíng)店老板，是希望該顧客直接選擇返回150元現(xiàn)金，還是選擇參加三次抽獎(jiǎng)？說明理由

附：相關(guān)系數(shù)公式

參考數(shù)據(jù)：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知離心率為的橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、，為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，且的面積最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）射線與橢圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，它們與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，求的面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年下半年以來，各地區(qū)陸續(xù)出臺(tái)了“垃圾分類”的相關(guān)管理?xiàng)l例，實(shí)行“垃圾分類”能最大限度地減少垃圾處置量，實(shí)現(xiàn)垃圾資源利用，改善生存環(huán)境質(zhì)量.某部門在某小區(qū)年齡處于區(qū)間內(nèi)的人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行了“垃圾分類”相關(guān)知識(shí)掌握和實(shí)施情況的調(diào)查，并把達(dá)到“垃圾分類”標(biāo)準(zhǔn)的人稱為“環(huán)保族”，得到圖各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖和表中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).

（1）求的值；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人年齡的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，結(jié)果保留整數(shù)）；

（3）從年齡段在的“環(huán)保族”中采用分層抽樣的方法抽取9人進(jìn)行專訪，并在這9人中選取2人作為記錄員，求選取的2名記錄員中至少有一人年齡在區(qū)間中的概率.

組數(shù)

分組

“環(huán)保族”人數(shù)

占本組頻率

第一組

45

0.75

第二組

25

第三組

0.5

第四組

3

0.2

第五組

3

0.1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校近幾年來通過“書香校園”主題系列活動(dòng)，倡導(dǎo)學(xué)生整本閱讀紙質(zhì)課外書籍.下面的統(tǒng)計(jì)圖是該校2013年至2018年紙質(zhì)書人均閱讀量的情況，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，下列推斷不合理的是（ ）

A.從2013年到2016年，該校紙質(zhì)書人均閱讀量逐年增長(zhǎng)

B.2013年至2018年，該校紙質(zhì)書人均閱讀量的中位數(shù)是46.7本

C.2013年至2018年，該校紙質(zhì)書人均閱讀量的極差是45.3本

D.2013年至2018年，該校后三年紙質(zhì)書人均閱讀量總和是前三年紙質(zhì)書人均閱讀量總和的2倍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，某小區(qū)有一塊矩形地塊，其中，，單位：百米.已知是一個(gè)游泳池，計(jì)劃在地塊內(nèi)修一條與池邊相切于點(diǎn)的直路（寬度不計(jì)），交線段于點(diǎn)，交線段于點(diǎn).現(xiàn)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以線段所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若池邊滿足函數(shù)的圖象，若點(diǎn)到軸距離記為.

（1）當(dāng)時(shí)，求直路所在的直線方程；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，地塊在直路不含泳池那側(cè)的面積取到最大，最大值時(shí)多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求在點(diǎn)P(1，)處的切線方程；

（2）若關(guān)于x的不等式有且僅有三個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

（3）若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，求證：．

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