Question

已知函數(shù)（k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線與x軸平行．
(1)求k的值及的單調(diào)區(qū)間;
(2)設其中為的導函數(shù),證明:對任意,.

Answer 1

（1）,的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是;（2）祥見解析.

解析試題分析：（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，函數(shù)在點（1，）處的切線與x軸平行，說明，則k值可求；再求的單調(diào)區(qū)間,首先應求出函數(shù)的定義域，然后讓導函數(shù)等于0求出極值點，借助于導函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2），分別研究，的單調(diào)性，可得函數(shù)的范圍，即可證明結(jié)論.
試題解析：（1）由，得.
因為曲線在處的切線與軸平行，
所以，因此.
所以，
當時，，，；當時，，，.
所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
（2）證明：因為，所以.
因此，對任意，等價于.
令，則.
因此，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.
所以的最大值為，故.
設.因為，所以當時，，單調(diào)遞增，，故當時，，即.
所以.因此對任意，.
考點：1.導數(shù)的幾何意義;2.函數(shù)的單調(diào)性;3函數(shù)的最值.