【題目】某學(xué)校隨機(jī)抽取100名考生的某次考試成績,按照[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100](滿分100分)分為5組,制成如圖所示的頻率分布直方圖(假定每名學(xué)生的成績均不低于75分).已知第3組,第4組,第5組的頻數(shù)成等差數(shù)列;第1組,第5組,第4組的頻率成等比數(shù)列.
(1)求頻率分布直方圖中a的值,并估計(jì)抽取的100名學(xué)生成績的中位數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)若從第3組、第4組、第5組中按分層抽樣的方法抽取6人,并從中選出3人,求這3人中至少有1人來自第4組的概率.
【答案】(1) a=0.04,中位數(shù).平均數(shù)87.25;(2)
.
【解析】
(1)根據(jù)頻率之和為1,即可求出的值,再根據(jù)頻率分布直方圖求出平均數(shù),中位數(shù)。(2)首先分別按比例從第3組、第4組、第5組中抽出3、2、1人,從6位同學(xué)中抽取3位同學(xué)有20種可能,找出3人中至少有1人來自第4組的情況。
(1)設(shè)第3組,第5組的頻率分別為x,y,
由題意可得,
解得x=0.3,y=0.1,a=0.04,
∴(
)=87.25,
由頻率分布直方圖知,中位數(shù)在[85,90),設(shè)中位數(shù)為m,
則0.01×5+0.07×5+0.06×(m﹣85)=0.5,
解得中位數(shù)m.
(2)∵成績較好的第3組、第4組、第5組中的人數(shù)分別為30,20,10,
∴按分層抽樣的方法在各組抽取的人數(shù)分別為3,2,1,
設(shè)第3組的3位同學(xué)分別為A1,A2,A3,第4組的2位同學(xué)分別為B1,B2,第5組的1位同學(xué)為C,
則從6位同學(xué)中抽取3位同學(xué)有20種可能,分別為:
(),(A1,A2,B1),(A1,A2,B2),(A1,A2,C),(A1,A3,B1),(A1,A3,B2),(A1,A3,C),(A1,B1,B2),(A1,B1,C),(A1,B2,C),(A2,A3,B1),(A2,A3,B2),(A2,A3,C),(A2,B1,B2),(A2,B1,C),(A2,B2,C),(A3,B1,B2),(A3,B1,C),(A3,B2,C),(B1,B2,C),
這3人中至少有1人來自第4組包含的基本事件有16個,分別為:
(A1,A2,B1),(A1,A2,B2),(A1,A3,B1),(A1,A3,B2),(A1,B1,B2),(A1,B1,C),(A1,B2,C),(A2,A3,B1),(A2,A3,B2),(A2,B1,B2),(A2,B1,C),(A2,B2,C),(A3,B1,B2),(A3,B1,C),(A3,B2,C),(B1,B2,C),
∴這3人中至少有1人來自第4組的概率為P.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若無窮數(shù)列滿足:
,且對任意
,
(s,k,l,
)都有
,則稱數(shù)列
為“T”數(shù)列.
(1)證明:正項(xiàng)無窮等差數(shù)列是“T”數(shù)列;
(2)記正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和為
,若數(shù)列
是“T”數(shù)列,求數(shù)列
公比的取值范圍;
(3)若數(shù)列是“T”數(shù)列,且數(shù)列
的前n項(xiàng)之和
滿足
,求證:數(shù)列
是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等腰梯形中(如圖1),
,
,
為線段
的中點(diǎn),
、
為線段
上的點(diǎn),
,現(xiàn)將四邊形
沿
折起(如圖2)
(1)求證:平面
;
(2)在圖2中,若,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,
、
分別是橢圓
長軸的左、右端點(diǎn),
為橢圓上的動點(diǎn).
(1)求的最大值,并證明你的結(jié)論;
(2)設(shè)直線的斜率為
,且
,求直線
的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線
:
(
為參數(shù),
),曲線
:
(
為參數(shù)),
與
相切于點(diǎn)
,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)
的極坐標(biāo);
(2)已知直線:
與圓
:
交于
,
兩點(diǎn),記
的面積為
,
的面積為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線的普通方程和曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)在曲線
上,點(diǎn)
在曲線
上,求
的最小值及此時點(diǎn)
的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線過橢圓C:
(a>b>0)的左焦點(diǎn)F,且點(diǎn)F到直線l:
(c為橢圓焦距的一半)的距離為4.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)F做直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),P是AB的中點(diǎn),線段AB的中垂線交直線l于點(diǎn)Q.若,求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為圓
上的動點(diǎn),點(diǎn)
在圓的半徑
上運(yùn)動,點(diǎn)
在
上,且滿足
,其中
.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)不過原點(diǎn)的直線與
點(diǎn)的軌跡交于
兩點(diǎn),且點(diǎn)
關(guān)于恒過定點(diǎn)
的直線
對稱.求
面積的取值范圍.
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