【題目】已知為圓上的動點，點在圓的半徑上運動，點在上，且滿足，其中.

（1）求點的軌跡方程；

（2）設不過原點的直線與點的軌跡交于兩點，且點關于恒過定點的直線對稱.求面積的取值范圍.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義判斷出點的軌跡是以點為焦點，求得的值，進而求得點的軌跡方程.

（2）設出直線的方程為、直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和點的軌跡方程，消去化簡并令其判別式大于零.將線段中點代入直線的方程，求得的關系式，并由此求得的取值范圍.求得弦長的表達式，求得點到直線的距離，由此求得三角形面積的表達式，利用二次函數(shù)的性質求得三角形面積的取值范圍.

（1）由題意是線段的垂直平分線，

點的軌跡是以點為焦點，焦距為2，長軸長為的橢圓，

，故點的軌跡方程是

（2）設直線的方程為，由題意知，則直線的方程為.

聯(lián)立消去，得

①

將線段的中點坐標代入，得②

由①②得或，

令，則.轉化為，也即.轉化為.則，且到直線的距離為.

設的面積為，

當且僅當時，等號成立，此時滿足

故面積的取值范圍為.

練習冊系列答案
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【題目】某學校隨機抽取100名考生的某次考試成績，按照[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（滿分100分）分為5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學生的成績均不低于75分）．已知第3組，第4組，第5組的頻數(shù)成等差數(shù)列；第1組，第5組，第4組的頻率成等比數(shù)列．

（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計抽取的100名學生成績的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）若從第3組、第4組、第5組中按分層抽樣的方法抽取6人，并從中選出3人，求這3人中至少有1人來自第4組的概率．

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【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，點為橢圓上一點. 的重心為，內心為，且，則該橢圓的離心率為（ ）

A. B. C. D.

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（1）當時，不等式恒成立，求的最小值；

（2）設數(shù)列，其前項和為，證明：.

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【題目】如圖，三棱柱中，側面底面，是邊長為2的正三角形，已知點滿足.

（1）求二面角的大小；

（2）求異面直線與的距離；

（3）直線上是否存在點，使平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由.

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【題目】第七屆世界軍人運動會于2019年10月18日至2019年10月27日在中國武漢舉行，第七屆世界軍人運動會是我國第一次承辦的綜合性國際軍事體育賽事，也是繼北京奧運會之后我國舉辦的規(guī)模最大的國際體育盛會.來自109個國家的9300余名軍體健兒在江城武漢同場競技、增進友誼.運動會共設置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項、329個小項.經(jīng)過激烈角逐，獎牌榜的前6名如下：

某大學德語系同學利用分層抽樣的方式從德國獲獎選手中抽取了9名獲獎代表.

國家

金牌

銀牌

銅牌

獎牌總數(shù)

中國

133

64

42

239

俄羅斯

51

53

57

161

巴西

21

31

36

88

法國

13

20

24

57

波蘭

11

15

34

60

德國

10

15

20

45

（1）請問這9名獲獎代表中獲金牌、銀牌、銅牌的人數(shù)分別是多少人？

（2）從這9人中隨機抽取3人，記這3人中銀牌選手的人數(shù)為，求的分布列和期望；

（3）從這9人中隨機抽取3人，求已知這3人中有獲金牌運動員的前提下，這3人中恰好有1人為獲銅牌運動員的概率.

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【題目】已知為常數(shù)，函數(shù)

（1）過坐標原點作曲線的切線，設切點為，求；

（2）令，若函數(shù)在區(qū)間上是單調減函數(shù)，求的取值范圍.

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【題目】已知拋物線經(jīng)過點，過A作兩條不同直線，其中直線關于直線對稱.

（1）求拋物線E的方程及其準線方程；

（2）設直線分別交拋物線E于兩點（均不與A重合），若以線段為直徑的圓與拋物線E的準線相切，求直線的方程.

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