Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 或 (2)

【解析】【試題分析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,當(dāng)時(shí)， ，所以,對(duì)分類討論,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,由此求得的取值范圍.(2) 令,利用的導(dǎo)數(shù),對(duì)分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用最大值小于零,來(lái)求得的取值范圍.

【試題解析】

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)， ，所以，

①當(dāng)時(shí)， 時(shí)無(wú)零點(diǎn)，

②當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增，

取，則，

因?yàn)?/span>，所以，此時(shí)函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，

③當(dāng)時(shí)，令，解得，

當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增.

要使函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，則即，

綜上所述，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則或；

（2）令，根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)， 恒成立，又，

①若，則時(shí)， 恒成立，所以在上是增函數(shù)，且，所以不符題意.

②若，則時(shí)， 恒成立，所以在上是增函數(shù)，且，所以不符題意.

③若，則時(shí)，恒有，故在上是減函數(shù)，于是“對(duì)任意，都成立”的充要條件是，即，解得，故.

綜上， 的取值范圍是.