Question

【題目】已知函數(shù)，，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

求證：；

若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為； （2）見解析；（3）.

【解析】

（1）對求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來確定的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造新的函數(shù)，通過求導(dǎo)求得，得到所證明的結(jié)論；（3）采用分離變量的方式，得到，設(shè)，通過三次求導(dǎo)運(yùn)算，得到的單調(diào)性，從而求得，則，得到取值范圍。

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，

由，可得；由，可得；

即的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減減區(qū)間為；

證明：設(shè)，

可得，

當(dāng)時(shí)，，，遞增；

當(dāng)時(shí)，，，遞減；

可得的最小值為，

即有，即為，可得；

恒成立恒成立，

令，，

令，，

設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，遞增，可得，

即有，即有，在遞增，，

而在上，；在遞減；

在上，在遞增，可得的最小值為，即，

綜上可得k的取值范圍是