在△ABC中,O為中線(xiàn)AM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若AM=4,則
OA
•(
OB
+
OC
)
的最小值是
-8
-8
分析:由M為BC的中點(diǎn)可得
OB
+
OC
=2
OM
,故
OA
•(
OB
+
OC
)
=
OA
•2
OM
=2|
OA
||
OM
|
cosπ,設(shè)|
OA
|
=x,由于AM=4,故|
OM
|
=4-x,x∈(0,4),可得2|
OA
||
OM
|
cosπ=-2x(4-x)=2x2-8x,由二次函數(shù)的最值求法可得結(jié)果.
解答:解:如圖所示:
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)∴
OB
+
OC
=2
OM
,∴
OA
•(
OB
+
OC
)
=
OA
•2
OM

=2|
OA
||
OM
|
cosπ,設(shè)|
OA
|
=x,由于AM=4,故|
OM
|
=4-x,x∈(0,4)
2|
OA
||
OM
|
cosπ=-2x(4-x)=2x2-8x,
故當(dāng)x=-
-8
2×2
=2時(shí),上式取到最小值-8.
故答案為:-8
點(diǎn)評(píng):本題為向量的數(shù)量積的最值的求解,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間的最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,屬中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,O為外心,P是平面內(nèi)點(diǎn),且滿(mǎn)足
OA
+
OB
+
OC
=
OP
,則P是△ABC的( 。
A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,A、B為定點(diǎn),C為動(dòng)點(diǎn),記∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知c=2,且存在常數(shù)λ
(λ>0),使得abcos2
C2

(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡,并求其標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)l與(1)中的曲線(xiàn)交于M,N兩點(diǎn),若OM⊥ON,試確定λ的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•武漢模擬)在△ABC中,O為中線(xiàn)AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若AM=2,則
OA
•(
OB
+
OC
)
的最小值是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,O為平面上一定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)
,λ∈[0,+∞),則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的(  )

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