在△ABC中,A、B為定點(diǎn),C為動點(diǎn),記∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c,已知c=2,且存在常數(shù)λ
(λ>0),使得abcos2
C2

(1)求動點(diǎn)C的軌跡,并求其標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)B作直線l與(1)中的曲線交于M,N兩點(diǎn),若OM⊥ON,試確定λ的范圍.
分析:(1)在△PAB中,由余弦定理,有22=a2+b2-2abcosC,|a+b|=
4+2ab(1+cosC)
=2
1+abcos2
C
2
=2
1+λ
>2
,故點(diǎn)P的軌跡C是以A,B為焦點(diǎn),長軸長2a=2
1+λ
的橢圓,由此能求出橢圓C的方程.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),當(dāng)MN垂直于x軸時,MN的方程為x=1,由題意,
1
1+λ
+
1
λ
=1?λ=
5
2
,由λ>0,得λ=
1+
5
2
.當(dāng)MN不垂直于x軸時,設(shè)MN的方程為y=k(x-1).由
x2
1+λ
+
y2
λ
=1
y=k(x-1)
得:[λ+(1+λ)k2]x2-2(1+λ)k2x+(1+λ)(k2-λ)=0,由題意知:λ+(1+λ)k2>0,再由韋達(dá)定理能導(dǎo)出0<λ<
1+
5
2
.由此可知0<λ≤
1+
5
2
解答:解:(1)在△PAB中,由余弦定理,有22=a2+b2-2abcosC,|a+b|=
4+2ab(1+cosC)
=2
1+abcos2
C
2
=2
1+λ
>2
,
所以,點(diǎn)P的軌跡C是以A,B為焦點(diǎn),長軸長2a=2
1+λ
的橢圓.(除去長軸上的頂點(diǎn))
如圖,以A、B所在的直線為x軸,以A、B的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.
則,A(-1,0)和B(1,0).
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
x2
1+λ
+
y2
λ
=1
(y≠0).
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
①當(dāng)MN垂直于x軸時,MN的方程為x=1,由題意,有M(1,1),N(1,-1)在橢圓上.
1
1+λ
+
1
λ
=1?λ=
5
2
,由λ>0,得λ=
1+
5
2

②當(dāng)MN不垂直于x軸時,設(shè)MN的方程為y=k(x-1).
x2
1+λ
+
y2
λ
=1
y=k(x-1)
得:[λ+(1+λ)k2]x2-2(1+λ)k2x+(1+λ)(k2-λ)=0,
由題意知:λ+(1+λ)k2>0,
所以x1+x2=
2(1+λ)k2
λ+(1+λ)k2
,x1x2=
(1+λ)(k2-λ)
λ+(1+λ)k2

于是:y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=
-λ2k2
λ+(1+λ)k2

因為OM⊥ON,所以
OM
ON
=0
,
所以x1x2+y1y2=
(1+λ-λ2)k2-λ2
λ+(1+λ)k2
=0
,
所以,k2=
λ2
1+λ-λ2
≥0
,
由λ>0得1+λ-λ2>0,解得0<λ<
1+
5
2

綜合①②得:0<λ≤
1+
5
2
點(diǎn)評:本題考動點(diǎn)C的軌跡方程和確定λ的范圍.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意韋達(dá)定理和橢圓性質(zhì)的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊長分別是a、b、c.滿足2acosC+ccosA=b.則sinA+sinB的最大值是(  )
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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在△ABC中,a<b<c,B=60°,面積為10
3
cm2,周長為20cm,求此三角形的各邊長.

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在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,已知
.
m
=(cos
C
2
,sin
C
2
)
,
.
n
=(cos
C
2
,-sin
C
2
)
,且
m
n
=
1
2

(1)求角C;
(2)若a+b=
11
2
,△ABC的面積S=
3
3
2
,求邊c的值.

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在△ABC中,A,B,C為三個內(nèi)角,若cotA•cotB>1,則△ABC是(  )

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已知y=f(x)函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的:
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個單位;
②將①中的圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的
1
2
;
③將②中的圖象的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍.
(1)求f(x)的周期和對稱軸;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且f(C)=2,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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