如圖，橢圓C：x
2+3y
2=3b
2（b＞0）．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若b=1，A，B是橢圓C上兩點，且
|AB|=，求△AOB面積的最大值．
（1）由x
2+3y
2=3b
2 得
+=1，
所以e=
=
=
；
（2）設(shè)A（x
1，y
1），B（x
2，y
2），△ABO的面積為S．
如果AB⊥x軸，由對稱性不妨記A的坐標為（
，
），此時S=
••=
；
如果AB不垂直于x軸，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，可得x
2+3（kx+m）
2=3，
即（1+3k
2）x
2+6kmx+3m
2-3=0，又△=36k
2m
2-4（1+3k
2） （3m
2-3）＞0，
所以x
1+x
2=-
，x
1x
2=
，
所以（x
1-x
2）
2=（x
1+x
2）
2-4x
1x
2=
，①
由|AB|=
•|x1-x2|及|AB|=
得（x
1-x
2）
2=
，②
結(jié)合①，②得m
2=（1+3k
2）-
．
又原點O到直線AB的距離為
，
所以S=
••，
因此
S2=•=（
-2）
2+
≤
，
故S≤
，當且僅當
=2，即k=±1時上式取等號．
又
＞
，故S
max=
．
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
（本題15分）已知曲線
C是到點
和到直線
距離相等的點的軌跡，
l是過點
Q（-1，0）的直線，
M是
C上（不在
l上）的動點；
A、B在
l上，
軸（如圖）。
（Ⅰ）求曲線
C的方程；
（Ⅱ）求出直線
l的方程，使得
為常數(shù)。
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：單選題
若直線l被圓x
2+y
2=4所截得的弦長為
2，l與曲線
+y2=1的公共點個數(shù)為（ �。�
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
已知拋物線C
1：y=x
2，F(xiàn)為拋物線的焦點，橢圓C
2：
+=1（0＜a＜2）；
（1）若M是C
1與C
2在第一象限的交點，且|MF|=
，求實數(shù)a的值；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與拋物線C
1交于A，B兩個不同的點，l與橢圓C
2交于P，Q兩個不同點，AB中點為R，PQ中點為S，若O在以RS為直徑的圓上，且k
2＞，求實數(shù)a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
已知拋物線y=-
與過點M（0，-1）的直線l相交于A、B兩點，O為原點．若OA和OB的斜率之和為1．
（1）求直線l的方程；
（2）求△AOB的面積．
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
已知點B（6，0）和點C（-6，0），過點B的直線l與過點C的直線m相交于點A，設(shè)直線l的斜率為k
1，直線m的斜率為k
2，
（1）如果k
1•k
2=
-，求點A的軌跡方程，并寫出此軌跡曲線的焦點坐標；
（2）如果k
1•k
2=
，求點A的軌跡方程，并寫出此軌跡曲線的離心率；
（3）如果k
1•k
2=k（k≠0，k≠-1），根據(jù)（1）和（2），你能得到什么結(jié)論？（不需要證明所得結(jié)論）
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
設(shè)雙曲線C：
-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F
1，F(xiàn)
2，且|F
1F
2|=4，一條漸近線的傾斜角為60°．
（I）求雙曲線C的方程和離心率；
（Ⅱ）若點P在雙曲線C的右支上，且△PF
1F
2的周長為16，求點P的坐標．
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：單選題
過拋物線y
2=2px（p＞0）的焦點F作直線與拋物線交于A、B兩點，以AB為直徑的圓與拋物線的準線的位置關(guān)系是（ �。�
| A．相交 | B．相切 |
| C．相離 | D．與p的取值相關(guān) |
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
已知橢圓
+=1(a＞b＞0)的離心率為
e=，直線x+y+1=0與橢圓交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，求該橢圓方程．
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