【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣lnx,a∈R.
(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)在點 (1,f(1))處的切線方程;
(2)是否存在實數(shù)a,使f(x)的最小值為 ,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由;
(3)當x∈(0,+∞)時,求證:e2x3﹣2x>2(x+1)lnx.

【答案】
(1)解:當a=1時,f(x)=x2﹣lnx的導數(shù)為f′(x)=2x﹣ ,

函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為2﹣1=1,

切點為(1,1),可得切線方程為y﹣1=x﹣1,即x﹣y=0


(2)解:f(x)的定義域為(0,+∞),f(x)的導數(shù)為f′(x)= ,

當a≤0時,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)為減函數(shù),無最小值;

當a>0時,在(0, )上,f′(x)<0;在( ,+∞)上,f′(x)>0.

所以當x= 處取得極小值,也為最小值 ﹣ln ,

﹣ln = ,解得a= e2,

則存在實數(shù)a= e2,使f(x)的最小值為


(3)解:證明:由(2)得當x>0時, e2x2﹣lnx≥ ,

可令g(x)= +1,則g′(x)=

當0<x<e時,g′(x)>0;當x>e時,g′(x)<0.

則x=e處,g(x)取得最大值g(e)=1+ ,

且1+ <1+ = ,

e2x2﹣lnx> +1,

即e2x3﹣2x>2(x+1)lnx


【解析】(1)求得f(x)的導數(shù),可得切線的斜率,求出切點,由點斜式方程可得切線的方程;(2)求出導數(shù),對a討論,當a≤0時,當a>0時,求出單調(diào)區(qū)間,求得最小值,解方程可得a的值;(3)由(2)得當x>0時, e2x2﹣lnx≥ ,可令g(x)= +1,求出導數(shù),單調(diào)區(qū)間,可得最大值,即可得證.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識點,需要掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

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