Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)F到直線l的距離為，求直線l的斜率；

（2）設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過(guò)點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)詳解.

【解析】

（1）設(shè)出直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得直線；

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，利用直線垂直，從而得到的斜率關(guān)系，即可證明.

（1）由條件知直線l的斜率存在，設(shè)為，

則直線l的方程為：，

即．

從而焦點(diǎn)到直線l的距離為，

平方化簡(jiǎn)得：，．

故直線斜率為：.

（2）證明：設(shè)直線AB的方程為，

聯(lián)立拋物線方程，消元得：．

設(shè)，，

線段AB的中點(diǎn)為，

故

因?yàn)?/span>，．

將M點(diǎn)坐標(biāo)代入后整理得：

即可得：

故為定值．即證.