已知函數(shù)在處存在極值.
(1)求實數(shù)的值；
(2)函數(shù)的圖像上存在兩點A，B使得是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在軸上，求實數(shù)的取值范圍；
(3)當時，討論關于的方程的實根個數(shù).

(1) .（2）的取值范圍是.（3）①當或時，方程有兩個實根；②當時，方程有三個實根；③當時，方程有四個實根.

解析試題分析：（1）求導得，將代入解方程組即得.(2) 由（1）得根據(jù)條件知A,B的橫坐標互為相反數(shù)，不妨設.接下來根據(jù)大于等于1和小于1分別求解.(3)由方程
知，顯然0一定是方程的根，所以僅就時進行研究，這時方程等價于，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)作出的圖象即可得方程的要的個數(shù).
試題解析：（1）當時，.      1分
因為函數(shù)在處存在極值，所以
解得.      4分
(2) 由（I）得
根據(jù)條件知A,B的橫坐標互為相反數(shù)，不妨設.
若，則，
由是直角得，，即，
即.此時無解；      6分
若，則. 由于AB的中點在軸上，且是直角，所以B點不可能在軸上，即. 同理有，即，.
因為函數(shù)在上的值域是，
所以實數(shù)的取值范圍是.      8分
（3）由方程，知，可知0一定是方程的根， 10分
所以僅就時進行研究：方程等價于
構(gòu)造函數(shù)
對于部分，函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線的一部分，
當時取得最大值，其值域是；
對于部分，函數(shù)，由，
知函數(shù)在上單調(diào)遞增.
所以，①當或時，方程有兩個實根；
②當時，方程有三個實根；
③當時，方程有四個實根.       14分
考點：1、導數(shù)的應用；2、方程的根.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)．
(1)當a＝1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若f(1)＝，且函數(shù)f(x)在上不存在極值點，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，（其中）.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；
（3）設函數(shù)，當時，若存在，對任意的，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲線y＝f(x)在點P(1,0)處的切線斜率為2.
(1)求a，b的值；
(2)證明：f(x)≤2x－2.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x，a∈R.
(1)若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程有且只有一個解，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）當且，時，若有，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝axln x圖象上點(e，f(e))處的切線與直線y＝2x平行，g(x)＝x2－tx－2.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)求函數(shù)f(x)在[n，n＋2](n>0)上的最小值；
(3)對一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）記函數(shù)的最小值為，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=lnx－ax（a>0）．
（I）當a=2時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）若對于任意的x∈（0，+），都有f（x）<0，求a的取值范圍．

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