Question

已知函數(shù)，（其中）.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；
（3）設函數(shù)，當時，若存在，對任意的，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
（2）.
（3）實數(shù)的取值范圍為.

解析試題分析：（1）利用導數(shù)非負，函數(shù)是增函數(shù)，導數(shù)非正，函數(shù)是減函數(shù).通過研究函數(shù)的導數(shù)值正負，解決問題；
（2）利用“轉化與劃歸思想”，由題意得到在上恒成立，即在上恒成立，應用二次函數(shù)的性質(zhì)得到，解得，注意驗證時，是否恒為0；
（3）將“存在，對任意的，總有成立”轉化成“在上的最大值不小于在上的最大值”. 建立的不等式組.
試題解析：（1），，
，故.
當時，；當時，.
的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.  3分
（2），則，由題意可知在上恒成立，即在上恒成立，因函數(shù)開口向上，且對稱軸為，故在上單調(diào)遞增，因此只需使，解得；
易知當時，且不恒為0.
故.  7分
（3）當時，，，故在上，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，.  9分
而“存在，對任意的，總有成立”等價于“在上的最大值不小于在上的最大值”.
而在上的最大值為中的最大者，記為.
所以有，，
.
故實數(shù)的取值范圍為.  13分
考點：應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，轉化與劃歸思想，不等式的解法.