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【題目】橢圓的左、右焦點分別為,右頂點為A,上頂點為B,且滿足向量 。

(1),求橢圓的標準方程;

(2)為橢圓上異于頂點的點,以線段PB為直徑的圓經過F1,問是否存在過F2的直線與該圓相切?若存在,求出其斜率;若不存在,說明理由。

【答案】(1);(2)存在滿足條件的直線,斜率.

【解析】

(1)由上頂點為B ,可以判斷出為等腰直角三角形,可以得,又右頂點為A,可以求出,利用,可以求出,最后求出橢圓標準方程。

(2)由(1)可知,利用,可以得出,橢圓方程可以表示成,由已知線段PB為直徑的圓經過,的坐標為,可知,得出一個等式,而為橢圓上異于頂點的點,又得到一個等式,通過兩個等式可以求出的坐標,也就可以求出圓心坐標和半徑。假設存在過F2的直線與該圓相切,通過圓心到切線等于半徑,列出等式,如果能求出,就說明存在,求不出,就說明不存在。

(1)易知,因為,

所以為等腰直角三角形,

所以b=c,由可知,

故橢圓的標準方程為:;

(2)由已知得,

設橢圓的標準方程為,的坐標為

因為,所以,

由題意得,所以

又因為在橢圓上,所以,由以上兩式可得

因為不是橢圓的頂點,所以,故

設圓心為,則,

圓的半徑

假設存在過的直線滿足題設條件,并設該直線的方程為,

由相切可知,所以

,解得

故存在滿足條件的直線。

練習冊系列答案
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