Question

5．已知：函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+a（a∈R，a為常數(shù)）
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈R，求f（x）的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（3）若f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上最大值與最小值之和為3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先利用輔助角和二倍角的基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)直接求解即可．
（3）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到a的取值

解答 解：函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+a=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+a，（a∈R，a為常數(shù)）
化簡可得：$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+a+1$．
（1）最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
令2k$π-\frac{π}{2}$≤$2x+\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z
解得：$kπ-\frac{π}{3}$$≤x≤kπ+\frac{π}{6}$
∴單調(diào)遞增區(qū)間$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]$，k∈Z．
（2）由對(duì)稱軸方程：2x$+\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$
解得：$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，k∈Z
∴對(duì)稱軸方程$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，k∈Z
由對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)：2x$+\frac{π}{6}$=kπ，
解得：x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$
∴對(duì)稱中心坐標(biāo)（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$，a+1）k∈Z．
（3）∵$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$
∴⇒$2x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$
∴⇒$2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$
故得$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$
即f（x）_min=a，f（x）_max=a+3，
∴a+a+3=3，
解得：a=0．
故得f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上最大值與最小值之和為3時(shí)，a的值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．