Question

（2013•濰坊一模）已知f（x）=a（x+2a）（x-a-3），g（x）=2^-x-2，同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：
①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②?x∈（1，+∞），f（x）•g（x）＜0成立，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A．(-4，

  1

  2

  )
• B．(-∞，-4)∪(-

  1

  2

  ，0)
• C．（-4，-2）∪（-

  1

  2

  ，0）
• D．(-4，-2)∪(-

  1

  2

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：由①可得當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）＜0，根據(jù)②可得當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在x軸的上方有圖象，故有

a＜0 -2a≠a+3 3-a 2 ≥1 f( 3-a 2 )＞0 f(-1)≤0

，
由此解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵已知f（x）=a（x+2a）（x-a-3），g（x）=2^-x-2，
根據(jù)①?x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，
即函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）不能同時(shí)取非負(fù)值．
由g（x）＜0，求得x＞-1，即當(dāng)x＞-1時(shí)，g（x）＜0；
當(dāng)x＜-1時(shí)，g（x）＞0．
故當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）＜0．
根據(jù)②?x∈（1，+∞），f（x）•g（x）＜0成立，
而當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）=2^-x-2＜0，
故f（x）=a（x+2a）（x-a-3）＞0在（1，+∞）上有解，
即當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在x軸的上方有圖象，
故函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的圖象如圖所示：
綜合以上，故有

a＜0 -2a≠a+3 3-a 2 ≥1 f( 3-a 2 )＞0 f(-1)≤0

，即

a＜0 a≠-1 a≤1 (a+1)2＞0 (2a-1)(a+4)≤0

，解得-4＜a＜-1，或-1＜a＜0，
故選 C．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．