定義在[-1,1]上的奇函數(shù)f(x)滿足f(1)=2,且當(dāng)a,b∈[-1,1],a+b≠0時(shí),有
f(a)+f(b)
a+b
>0.
(1)試問(wèn)函數(shù)f(x)的圖象上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,使直線AB恰好與y軸垂直,若存在,求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由并加以證明.
(2)若
1
2
f(x)≤m2+2am+1對(duì)所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(1)假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,使直線AB恰好與y軸垂直,
則A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,設(shè)它們的橫坐標(biāo)分別為 x1和x2,且x1<x2
則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=
f(x1)+f(-x2)
x1+(-x2)
[x1+(-x2)].
由于
f(x1)+f(-x2)
x1+(-x2)
>0,且[x1+(-x2)]<0,∴f(x1)-f(x2)<0,
故函數(shù)f(x)在[-1,1]上是增函數(shù).
這與假設(shè)矛盾,故假設(shè)不成立,即 函數(shù)f(x)的圖象上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,使直線AB恰好與y軸垂直.
(2)由于
1
2
f(x)≤m2+2am+1
對(duì)所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,
∴故函數(shù)f(x)的最大值小于或等于2(m2+2am+1).
由于由(1)可得,函數(shù)f(x)是[-1,1]的增函數(shù),故函數(shù)f(x)的最大值為f(1)=2,
∴2(m2+2am+1)≥2,即 m2+2am≥0.
令關(guān)于a的一次函數(shù)g(a)=m2+2am,則有
g(-1)=m2-2m≥0
g(1)=m2+2m≥0
,
解得 m≤-2,或m≥2,或 m=0,故所求的m的范圍是{m|m≤-2,或m≥2,或 m=0}.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ).
(Ⅱ).

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(1)a,b,c∈R,求證:a2+b2+c2≥ab+bc+ca(綜合法證明)
(2)求證:
2
-
3
6
-
7
(分析法證明)

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A.a(chǎn),b,c都是奇數(shù)
B.a(chǎn),b,c都是偶數(shù)
C.a(chǎn),b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)
D.a(chǎn),b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)

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某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān),若n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立,現(xiàn)已知n=5時(shí),該命題不成立,那么可以推得(  )
A.n=6時(shí)該命題不成立B.n=6時(shí)該命題成立
C.n=4時(shí)該命題不成立D.n=4時(shí)該命題成立

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某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān),如果當(dāng)nk(k∈N)時(shí),該命題成立,那么可
推得當(dāng)nk+1時(shí)命題也成立.現(xiàn)在已知當(dāng)n=5時(shí),該命題不成立,那么可推得(  ).
A.當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立
B.當(dāng)n=6時(shí)該命題成立
C.當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立
D.當(dāng)n=4時(shí)該命題成立

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,求證:中至少有一個(gè)大于。

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