Question

已知(x2-

1

x

)n的展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為

3

14

．
（1）求n的值；
（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)(x2-

1

x

)n的展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為

3

14

列出關(guān)于n的方程，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)論；
（2）先求出其通項(xiàng)，再令自變量的指數(shù)為0即可求出結(jié)論．

解答：解：（1）由題設(shè)，得

C

2 n

(-1)2：

C

4 n

(-1)4=

3

14

，
則

n(n-1) 2

n(n-1)(n-2)(n-3) 4•3•2

=

3

14

⇒

4

(n-2)(n-3)

=

1

14

⇒n²-5n-50=0⇒n=10或n=-5（舍）
（2）Tr+1=

C

r 10

(x2)10-r(-1)r(

1

x

)r=

C

r 10

x20-2r-

1

2

r(-1)r
當(dāng)20-2r-

1

2

r=0
即當(dāng)r=8時(shí)為常數(shù)項(xiàng)T9=

C

8 10

(-1)8r=

C

2 10

=45．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理以及組合數(shù)的應(yīng)用．一般在求解二次式定理方面的題目時(shí)，求特定項(xiàng)屬于必考題目．