Question

已知(

x

2

+

1

x

)n各項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256．
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，由二項(xiàng)式定理可得2ⁿ=256，解可得n的值；
（Ⅱ）由二項(xiàng)式定理可得，先求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，要求常數(shù)項(xiàng)，令X的指數(shù)為0，可得r的值，代入可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意，(

x

2

+

1

x

)n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)為256，
由二項(xiàng)式定理可得2ⁿ=256，解可得n=8；
（Ⅱ）由二項(xiàng)式定理可得，(

x

2

+

1

x

)n展開(kāi)式的通項(xiàng)為T_r+1=C₈^r（

x

2

）^8-r•（

1

x

）^r=C₈^r（

1

2

）^r•x^8-2r；
令8-2r=0，可得r=4，
則常數(shù)項(xiàng)為T₅=

c

4 8

•(

1

2

)4=

35

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，要牢記二項(xiàng)式（x+y）ⁿ中，其二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ；當(dāng)求各項(xiàng)系數(shù)之和時(shí)，是讓自變量為1來(lái)求解．