【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為,定義:為橢圓的“特征三角形”,如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形,那么稱這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”,且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比,已知點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且上任意一點(diǎn)到它的兩焦點(diǎn)的距離之和為4
(1)若橢圓與橢圓相似,且與的相似比為2:1,求橢圓的方程.
(2)已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn),若點(diǎn)是直線與拋物線異于原點(diǎn)的交點(diǎn),證明:點(diǎn)一定在雙曲線上.
(3)已知直線,與橢圓相似且短半軸長(zhǎng)為的橢圓為,是否存在正方形,(設(shè)其面積為),使得在直線上,在曲線上?若存在,求出函數(shù)的解析式及定義域;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)詳見(jiàn)解析;(3)
【解析】
(1)先計(jì)算橢圓:,根據(jù)相似比得到橢圓的方程.
(2)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn),則,設(shè),計(jì)算
得到證明.
(3)根據(jù)題意:只需上存在兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱即可,利用韋達(dá)定理計(jì)算,得到答案.
(1)根據(jù)題意知,橢圓:,,橢圓:
橢圓與橢圓相似,且與的相似比為2:1,則
橢圓的方程為:
(2)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn),則,
設(shè)
故
所以點(diǎn)一定在雙曲線上
(3):根據(jù)題意:只需上存在兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱即可
設(shè),設(shè)的中點(diǎn)為
由韋達(dá)定理知:
在直線上,則故
此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為
故
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們把一系列向量按次序排成一列,稱之為向量列,記作.已知向量列滿足且.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)求間的夾角;
(3)設(shè),問(wèn)數(shù)列中是否存在最小項(xiàng)?若存在,求出最小項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù),( ),若對(duì)任意,總存在,使得成立,則的取值范圍是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)集合,選擇的兩個(gè)非空子集和,要使中最小的數(shù)大于中最大的數(shù),則不同的選擇方法共有________種.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面是矩形,平面,,,以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn),交于點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成的角的大;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:橢圓的焦點(diǎn)在軸上,左焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)圍成面積為的等腰直角三角形,直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、(、都在軸上方),且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線的方程;
(3)對(duì)于動(dòng)直線,是否存在一個(gè)定點(diǎn),無(wú)論如何變化,直線總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列有關(guān)平面向量分解定理的四個(gè)命題:
(1)一個(gè)平面內(nèi)有且只有一對(duì)不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基;
(2)一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不平行向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基;
(3)平面向量的基向量可能互相垂直;
(4)一個(gè)平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)三個(gè)互不平行向量的線性組合.
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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