Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)A（2，0）的距離是它到點(diǎn)B（8，0）的距離的一半，求：（1）動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若N為線段AM的中點(diǎn)，試求點(diǎn)N的軌跡．

Answer 1

分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）為軌跡上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡就是集合P={M||MA|=

1

2

|MB|}．由兩點(diǎn)距離公式，能求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），M的坐標(biāo)是（x₁，y₁）．由A（2，0），且N為線段AM的中點(diǎn)，知x₁=2x-2，y₁=2y，由M是圓x²+y²=16上的點(diǎn)，知M坐標(biāo)（x₁，y₁）滿足：x₁²+y₁²=16，由此能求出點(diǎn)N的軌跡．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）為軌跡上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡就是集合
P={M||MA|=

1

2

|MB|}．（1分）
由兩點(diǎn)距離公式，點(diǎn)M適合的條件可表示為

(x-2)2+y2

=

1

2

(x-8)2+y2

，
（3分）
平方后再整理，得x²+y²=16．（5分）
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），M的坐標(biāo)是（x₁，y₁）．（6分）
由于A（2，0），且N為線段AM的中點(diǎn)，所以x=

2+x1

2

，y=

0+y1

2

所以有x₁=2x-2，y₁=2y①（8分）
由（1）題知，M是圓x²+y²=16上的點(diǎn)，
所以M坐標(biāo)（x₁，y₁）滿足：x₁²+y₁²=16②（9分）
將①代入②整理，得（x-1）²+y²=4．（11分）
所以N的軌跡是以（1，0）為圓心，以2為半徑的圓（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解，注意公式的合理運(yùn)用．