Question

【題目】已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）對(duì)一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：對(duì)一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞ ﹣ 成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=xlnx，

∴f'（x）=lnx+1

當(dāng)x∈（0， ），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（ ，+∞），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增

①0＜t＜ 時(shí)，f（x）min=f（ ）=﹣ ；

② ≤t時(shí)，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）min=f（t）=tlnt；

∴f（x）min=

（2）解：2f（x）≥g（x）恒成立，

∴a≤x+ +2lnx恒成立，

令h（x）=x+2lnx+ ，

則h'（x）=1+ ﹣ = ，

由h'（x）=0，得x1=﹣3，x2=1，

x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＜0；

x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＞0．

∴x=1時(shí)，h（x）min=1+0+3=4．

∴a≤4．

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，4]

（3）證明：對(duì)一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞ ﹣ 成立，

∴xlnx＞ ﹣ ，

∴f（x）＞ ﹣ ，

由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是﹣ ，當(dāng)且僅當(dāng)x= 時(shí)取到．

設(shè)m（x）= ﹣ ，（x∈（0，+∞）），則m′（x）= ，

∵x∈（0，1）時(shí)，m′（x）＞0，

x∈（1，+∞）時(shí)，m′（x）＜0，

∴m（x）max=m（1）=﹣ ，

從而對(duì)一切x∈（0，+∞），lnx＞ ﹣ 成立

【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)f'（x）=lnx+1，對(duì)x分別討論，得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分別討論t的范圍，求出函數(shù)的最小值；（2）不等式整理為a≤x+ +2lnx恒成立，只需求出右式的最小值即可，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x+2lnx+ ，利用求導(dǎo)的方法得出函數(shù)的最小值；（3）根據(jù)不等式的形式可得f（x）＞ ﹣ ，只需使f（x）的最小值大于右式的最大值即可，構(gòu)造函數(shù)m（x）= ﹣ ，利用求導(dǎo)得出函數(shù)的最大值．