如圖,四棱錐中,底面,四邊形中,,,.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)設(shè)
(ⅰ) 若直線與平面所成的角為,求線段的長;
(ⅱ) 在線段上是否存在一個點,使得點到點的距離都相等?說明理由.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ) ,不存在點.

試題分析:(Ⅰ)先證明線面垂直平面,再證明面面垂直平面⊥平面;(Ⅱ)先建立直角坐標(biāo)系,設(shè)平面的法向量為,利用兩向量垂直,列表達式,求出法向量,再由直線與平面所成的角為,得出法向量中的參量;先設(shè)存在點,找出的坐標(biāo),利用距離相等,列出表達式,看方程是否有根來判斷是否存在點.
試題解析:解法一:
(Ⅰ)證明:因為平面,平面
所以,又,
所以平面,又平面,
所以平面⊥平面.                 3分
(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系 (如圖).

在平面內(nèi),作于點,則.
中,,
.
設(shè),則
,
所以,,
.                 5分
(ⅰ)設(shè)平面的法向量為
,,得
,得平面的一個法向量
,故由直線與平面所成的角為
,即.
解得 (舍去,因為),所以.          7分
(ⅱ)假設(shè)在線段上存在一個點,使得點到點的距離都相等.
設(shè) (其中).
,

,得,
;①
,得. ②
由①、②消去,化簡得. ③
由于方程③沒有實數(shù)根,所以在線段上不存在一個點,使得點到點的距離都相等.
從而,在線段上不存在一個點,
使得點到點的距離都相等.              12分
解法二:
(Ⅰ)同解法一:
(Ⅱ)(ⅰ)以為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系 (如圖).

在平面內(nèi),作于點,
,
中,
,
.
設(shè),則,
.
所以,
,.                 5分
設(shè)平面的法向量為
,,得
,得平面的一個法向量
,故由直線與平面所成的角為
,即.
解得 (舍去,因為),所以.          7分
(ⅱ)假設(shè)在線段上存在一個點,使得點到點的距離都相等.

,得,
從而,即,
所以.
設(shè),則,.
中,
,這與矛盾.
所以在線段上不存在一個點,使得點的距離都相等.
從而,在線段上不存在一個點,使得點到點的距離都相等
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