Question

如圖，是半圓的直徑，是半圓上除、外的一個(gè)動點(diǎn)，平面,，，，．

⑴證明：平面平面；
⑵試探究當(dāng)在什么位置時(shí)三棱錐的體積取得最大值，請說明理由并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

⑴是直徑，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013815105429.png" style="vertical-align:middle;" />平面，，所以平面因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013815245593.png" style="vertical-align:middle;" />，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013814621569.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以平面ACD，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013815354446.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面平面
⑵當(dāng)為半圓弧中點(diǎn)時(shí)三棱錐的體積取得最大值，最大值為

試題分析：⑴因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013814278396.png" style="vertical-align:middle;" />是直徑，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013815105429.png" style="vertical-align:middle;" />平面，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013815573614.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013815245593.png" style="vertical-align:middle;" />，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013814621569.png" style="vertical-align:middle;" />，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以平面，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013815354446.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面平面
⑵依題意，，
由⑴知，
，，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以當(dāng)為半圓弧中點(diǎn)時(shí)三棱錐的
體積取得最大值，最大值為
（備注：此時(shí)，，，設(shè)三棱錐的高為，則，）．
點(diǎn)評：第一問要證明兩面垂直只需證明其中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一面，即轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；第二問首先采用等體積法將所求椎體的體積轉(zhuǎn)化求解的角度，而后借助于均值不等式求得最大值