【題目】已知曲線f(x)= (x>0)上有一點(diǎn)列Pn(xn , yn)(n∈N*),過點(diǎn)Pn在x軸上的射影是Qn(xn , 0),且x1+x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2.(n∈N*)
(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)四邊形PnQnQn+1Pn+1的面積是Sn , 求Sn;
(3)在(2)條件下,求證: + +…+ <4.

【答案】
(1)解:n=1時(shí),x1=22﹣1﹣2=1,

n≥2時(shí),x1+x2+x3+…+xn1=2n﹣(n﹣1)﹣2,①

又x1+x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2,②

②﹣①得:xn=2n﹣1(n=1仍成立)

故xn=2n﹣1;


(2)解:∵ ,

,又 , ,

故四邊形PnQnQn+1Pn+1的面積為:


(3)解:證明:


【解析】(1)求出n=1時(shí),x1=1;n≥2時(shí),將n換為n﹣1,兩式相減,即可得到所求通項(xiàng)公式;(2)運(yùn)用點(diǎn)滿足函數(shù)式,代入化簡,求出梯形的底和高,由梯形的面積公式,化簡可得;(3)求得: ,運(yùn)用數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,化簡即可得證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù),若函數(shù)y=f(2x2+1)+f(λ﹣x)只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)λ的值是(
A.
B.
C.﹣
D.﹣

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí),面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)分別求第3,4,5組的頻率.

(2)若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場宣傳活動(dòng),應(yīng)從第3,4,5組各抽取多少名志愿者?

(3)在(2)的條件下,我市決定在這6名志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn),求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x、y,使得等式x+a(y﹣2ex)(lny﹣lnx)=0成立,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)兩相鄰的零點(diǎn)之間的距離為 ,將f(x)的圖象向左平移 個(gè)單位后圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)g(x)是偶函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸及單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5的小球各2個(gè),從袋中任取3個(gè)小球,每個(gè)小球被取出的可能性都相等,用ξ表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字,求:
(1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率;
(2)隨機(jī)變量ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】對(duì)于個(gè)黑球和個(gè)白球的任意排列(從左到右排成一行),則一定( 。

A. 存在一個(gè)白球,它右側(cè)的白球和黑球一樣多

B. 存在一個(gè)黑球,它右側(cè)的白球和黑球一樣多

C. 存在一個(gè)白球,它右側(cè)的白球比黑球少一個(gè)

D. 存在一個(gè)黑球,它右側(cè)的白球比黑球少一個(gè)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點(diǎn)列An(xn , 0),n∈N* , 其中x1=0,x2=1.A3是線段A1A2的中點(diǎn),A4是線段A2A3的中點(diǎn),…,An+2是線段AnAn+1的中點(diǎn),…設(shè)an=xn+1﹣xn . (Ⅰ)寫出xn與xn1、xn2(n≥3)之間的關(guān)系式并計(jì)算a1 , a2 , a3;
(Ⅱ)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若向量 , ,且 ,若 ,則β﹣α的值為(
A.
B.
C.
D.

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