【題目】已知三點O(0,0),A(﹣2,1),B(2,1),曲線C上任意一點M(x,y)滿足| + |= + )+2.
(1)求曲線C的方程;
(2)動點Q(x0 , y0)(﹣2<x0<2)在曲線C上,曲線C在點Q處的切線為直線l:是否存在定點P(0,t)(t<0),使得l與PA,PB都相交,交點分別為D,E,且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)?若存在,求t的值.若不存在,說明理由.

【答案】
(1)解:由 =(﹣2﹣x,1﹣y), =(2﹣x,1﹣y)可得 + =(﹣2x,2﹣2y),

∴| + |= , + )+2=(x,y)(0,2)+2=2y+2.

由題意可得 =2y+2,化簡可得 x2=4y.


(2)解:假設(shè)存在點P(0,t)(t<0),滿足條件,則直線PA的方程是y= ,直線PB的方程是y=

∵﹣2<x0<2,∴

①當﹣1<t<0時, ,存在x0∈(﹣2,2),使得

∴l(xiāng)∥PA,∴當﹣1<t<0時,不符合題意;

②當t≤﹣1時, ,

∴l(xiāng)與直線PA,PB一定相交,分別聯(lián)立方程組

, ,解得D,E的橫坐標分別是 ,

∵|FP|=﹣

=

= ×

∵x0∈(﹣2,2),△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)

,解得t=﹣1,

∴△QAB與△PDE的面積之比是2.


【解析】(1)用坐標表示 ,從而可得 + ,可求| + |,利用向量的數(shù)量積,結(jié)合M(x,y)滿足| + |= + )+2,可得曲線C的方程;(2)假設(shè)存在點P(0,t)(t<0),滿足條件,則直線PA的方程是y= ,直線PB的方程是y= 分類討論:①當﹣1<t<0時,l∥PA,不符合題意;②當t≤﹣1時, , ,分別聯(lián)立方程組,解得D,E的橫坐標,進而可得△QAB與△PDE的面積之比,利用其為常數(shù),即可求得結(jié)論.

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907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據(jù)此估計,這三天中恰有兩天下雨的概率近似為

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(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點,證明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程.

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【題目】下面命題中,正確的命題有(  )

①若n1,n2分別是不同平面α,β的法向量,n1n2αβ;

②若n1,n2分別是平面α,β的法向量,αβn1·n2=0;

③若n是平面α的法向量,b,cα內(nèi)兩個不共線的向量,abc(λ,μR),n·a=0;

④若兩個平面的法向量不垂直,則這兩個平面一定不垂直.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【題目】拋物線的焦點為,為拋物線上一點,且不在直線,周長的最小值為

A. B. C. D.

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【題目】給出下列四個命題:

①若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則;

②若),則的取值范圍是;

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④若),在區(qū)間上單調(diào)遞減,則.

其中所有正確命題的序號是______________.

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