【題目】已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1 , l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn).
(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程.

【答案】
(1)

證明:連接RF,PF,

由AP=AF,BQ=BF及AP∥BQ,得∠AFP+∠BFQ=180°,

∴∠PFQ=90°,

∵R是PQ的中點(diǎn),

∴RF=RP=RQ,

∴△PAR≌△FAR,

∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,

∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR,

∴∠FQB=∠PAR,

∴∠PRA=∠PRF,

∴AR∥FQ


(2)

A(x1,y1),B(x2,y2),

F( ,0),準(zhǔn)線為 x=﹣

SPQF= |PQ|= |y1﹣y2|,

設(shè)直線AB與x軸交點(diǎn)為N,

∴SABF= |FN||y1﹣y2|,

∵△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,

∴2|FN|=1,∴xN=1,即N(1,0).

設(shè)AB中點(diǎn)為M(x,y),由 =2(x1﹣x2),

= ,

= ,即y2=x﹣1.

∴AB中點(diǎn)軌跡方程為y2=x﹣1.


【解析】(1)連接RF,PF,利用等角的余角相等,證明∠PRA=∠PRF,即可證明AR∥FQ;(2)利用△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求出N的坐標(biāo),利用點(diǎn)差法求AB中點(diǎn)的軌跡方程.本題考查拋物線的方程與性質(zhì),考查軌跡方程,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.

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A.①和②均為真命題
B.①和②均為假命題
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B.
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