Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E，F分別是AB，PD的中點，若PA=AD=3,CD=
①求證：AF∥平面PCE
②求證：平面PCE⊥平面PCD
③求直線FC與平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：①取PC中點G，連接EG，FG；又由F為PD中點
∴FGCD
又∵AECD
∴FGAE，即可得四邊形AEFG是平行四邊形
∴AF∥EG
又AF平面PCE，EG平面PCE
∴AF∥平面PCE
②∵PA⊥平面ABCD
∴平面PAD⊥平面ABCD
∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又AF在面PAD內
∴CD⊥AF
∵PA=AD，F為PD中點
∴AF⊥PD，又∵PD∩CD=D
∴AF⊥平面PCD
又∵EG∥AF
∴EG⊥平面PCD
又∵EG平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD
③在平面PCD內作FH⊥PC，則FH⊥平面PCE
∴∠FCH是FC與平面PCE所成的角
在△FCH中，，∴sin
∴直線FC與平面PCE所成角的正弦值為
【解析】①根據有中點找中點做出輔助線，得到三組線線平行，得到四邊形是一個平行四邊形，得到線線平行，根據線面平行的判斷得到結論．
②要證明面面垂直，根據證明面面垂直的判斷需要找一條和兩個平面垂直的一條直線，根據線面垂直的判斷和性質，得到結論．
③在平面PCD內作FH⊥PC，則FH⊥平面PCE，得到∠FCH是FC與平面PCE所成的角，在這個可解的三角形中，求出角的正弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用向量語言表述面面的垂直、平行關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握若平面的法向量為，平面的法向量為，要證∥，只需證∥，即證;要證，只需證，即證．