Question

甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地，勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／小時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米／小時)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元。

(1)把全部運輸成本y(元)表示為速度v(千米／小時)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域。

(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛?

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)y＝s（＋bv），v∈（0，c] (2)記k＝y＝ 故求此函數(shù)的最值可轉(zhuǎn)化為求一定點A（0，－as）與動點B（v，bsv2）構(gòu)成的直線的斜率的最值。 動點B在拋物線y＝bｓx2，x∈（0，c）上運動，其中點 B′（c，bsc2）。 如圖所示： ①當(dāng)動點B在拋物線弧0B′(不包括B′點)上時，過定點A且與拋物線弧相切的切線斜率即所求函數(shù)的最小值。 設(shè)直線AB的方程為：y＋aｓ＝kx 聯(lián)立 消去y得bｓx2－kx＋as＝0(*) 由Δ＝k2－４abs2＝0得k＝2s或k＝－2s (舍去)，將k＝2s代入(*)式得x＝。換句話說，當(dāng)速度v＝時，運輸成本y的最小值為2s。 ②當(dāng)點B在點B′時，kAB的值只有一個，顯然就是所求函數(shù)的最小值。此時，kAB＝＋bc）。 也就是說，當(dāng)v＝c時，運輸成本y的最小值為s（＋bc）。