Question

已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，.
（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)第個(gè)正方形的邊長為，求前個(gè)正方形的面積之和.
（注：表示與的最小值.）

Answer 1

（1），；（2）.

試題分析：（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分別求出數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）先利用作差法確定與的大小，在比較兩者的大小是，一是利用數(shù)學(xué)歸納法，方法二是利用二項(xiàng)式定理，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式（用分段數(shù)列的形式來進(jìn)行表示，然后對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，進(jìn)而求出.
試題解析：（1）由于數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，
又因?yàn)閿?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此；
2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040119846433.png" style="vertical-align:middle;" />，，，，，，
，，，，，，
易知當(dāng)時(shí)，，
下面證明當(dāng)時(shí)，不等式成立.
方法1：（i）當(dāng)時(shí)，，不等式顯然成立，
（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，
則有，
這說明當(dāng)時(shí)，不等式也成立，
綜合（i）（ii）可知，不等式對(duì)的所有整數(shù)都成立.
所以當(dāng)時(shí)，；
方法2：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，

，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，
則，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，




.
綜上可知，.