【題目】已知函數(shù)f (x)=exg(x)=xb,b∈R.

(1)若函數(shù)f (x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象相切,求b的值;

(2)設T(x)=f (x)+ag(x),a∈R,求函數(shù)T(x)的單調增區(qū)間;

(3)h(x)=|g(x)|·f (x),b1.若存在x1x2 [0,1],使|h(x1)-h(x2)|1成立,求b的取值范圍.

【答案】(1)b=-1(2)見解析(3)(-∞,)

【解析】分析:(1)設切點為(t,et),由導數(shù)的幾何意義,可得et=1,且et=t-b,即可得到b=-1;
(2)求出T(x)的導數(shù),討論當a≥0時,當a<0時,由導數(shù)大于0,可得增區(qū)間;
(3)求出h(x)的分段函數(shù),討論x的范圍,求得單調區(qū)間,對b討論,求得h(x)的最值,由存在性思想,即可得到b的范圍.

詳解:

(1)設切點為(t,et),因為函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象相切,

所以et=1,且ettb,

解得b=-1.

(2)T(x)=exa(xb),T′(x)=exa

a0時,T′(x)0恒成立

a<0時,由T′(x)0,得xln(-a).

所以,當a0時,函數(shù)T(x)的單調增區(qū)間為(-∞,+∞);

a<0時,函數(shù)T(x)的單調增區(qū)間為(ln(-a),+∞).

(3) h(x)=|g(x)|·f(x)=

x>b時,h′(x)=(xb+1) ex0,所以h(x)(b,+∞)上為增函數(shù);

x<b時,h′(x)=-(xb+1) ex,

因為b-1<xb,h′(x)=-(xb+1) ex<0,所以h(x)(b-1,b)上是減函數(shù);

因為xb-1, h′(x)=-(xb+1) ex>0,所以h(x)(-∞,b-1)上是增函數(shù)

b≤0,h(x)(0,1)上為增函數(shù).

所以h(x)maxh(1)=(1-b)e,h(x)minh(0)=-b

h(x)maxh(x)min1,b<1,所以b≤0.

0<b

因為bx<1, h′(x)=(xb+1) ex0,所以h(x)(b,1)上是增函數(shù),

因為0<xb, h′(x)=-(xb+1) ex<0,所以h(x)(0,b)上是減函數(shù)

所以h(x)maxh(1)=(1-b)e,h(x)minh(b)=0.

h(x) maxh(x) min1,b

因為0<b,所以0<b

b<1,

同理可得,h(x)(0,b)上是減函數(shù),(b,1)上是增函數(shù)

所以h(x)maxh(0)=b,h(x)minh(b)=0.

因為b<1,所以h(x)maxh(x)min1不成立.

綜上,b的取值范圍為(-∞,).

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