【題目】已知函數(shù)

(1)若a=1,求f(x)的極值;

(2)若存在x0[1,e],使得f(x0)<g(x0)成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)f(x)的極小值是f(1)=1,無極大值(2)

【解析】分析:(1)求出導數(shù),由不等式確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間,從而得極值;

(2)問題等價于,因此用導數(shù)研究函數(shù)的最小值,由最小值小于0可求得的范圍,注意要分類討論.

詳解:(1)a=1時,f(x)=x﹣lnx,函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),

f′(x)=1﹣=,令f′(x)>0,解得x>1,令f′(x)<0,解得:0<x<1,

f(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,故f(x)的極小值是f(1)=1,無極大值;

(2)存在x0[1,e],使得f(x0)<g(x0)成立,等價于[f(x)﹣g(x)]min<0,

(x[1,e])成立,設(shè)h(x)=f(x)﹣g(x)=x﹣alnx+,

h′(x)=,令h′(x)=0,解得:x=﹣1(舍),x=1+a;

①當1+a≥e,h(x)在[1,e]遞減,∴h(x)min=h(e)=e2﹣ea+1+a,

h(x)min<0,解得:a>

②當1+a<e時,h(x)在(1,a+1)遞減,在(a+1,e)遞增,

h(x)min=h(1+a)=a[1﹣ln(a+1)]+2>2h(x)min<0矛盾,

綜上,a>

練習冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)

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【題目】甲、乙、丙3人投籃,投進的概率分別是.

(Ⅰ)現(xiàn)3人各投籃1,3人都沒有投進的概率;

(Ⅱ)表示乙投籃3次的進球數(shù),求隨機變量的概率分布及數(shù)學期望;

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【題目】交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡稱,是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值,記交通指數(shù)為,其范圍為,分別有五個級別:,暢通;,基本暢通;,輕度擁堵;,中度擁堵;,嚴重擁堵.在晚高峰時段(),從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段,依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴重擁堵的路段的個數(shù);

(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴重擁堵的路段中共抽取6個路段,求依次抽取的三個級別路段的個數(shù);

(3)從(2)中抽取的6個路段中任取2個,求至少有1個路段為輕度擁堵的概率.

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【題目】設(shè)函數(shù),則下列命題中正確的個數(shù)是( )

時,函數(shù)上是單調(diào)增函數(shù);

時,函數(shù)上有最小值;

函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱;

方程可能有三個實數(shù)根.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【題目】已知數(shù)列為等差數(shù)列,.

(1) 求數(shù)列的通項公式;

(2)求數(shù)列的前n項和.

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【題目】甲、乙、丙人投籃,投進的概率分別是,.

(1)現(xiàn)人各投籃次,求人至少一人投進的概率;

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【題目】隨機觀測生產(chǎn)某種零件的某工作廠25名工人的日加工零件個數(shù)(單位:件),獲得數(shù)據(jù)如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下:

分組

頻數(shù)

頻率

[25,30]

3

0.12

(30,35]

5

0.20

(35,40]

8

0.32

(40,45]

n1

f1

(45,50]

n2

f2


(1)確定樣本頻率分布表中n1 , n2 , f1和f2的值;
(2)根據(jù)上述頻率分布表,畫出樣本頻率分布直方圖;
(3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖,求在該廠任取4人,至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35]的概率.

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