Question

【題目】如果存在常數(shù)（），對于任意，都有成立，那么稱該函數(shù)為“函數(shù)”.

（1）分別判斷函數(shù)，是否為“函數(shù)”，若不是，說明理由；

（2）若函數(shù)是“函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

（3）記所有定義在上的單調(diào)函數(shù)組成的集合為，所有函數(shù)組成的集合為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）是“函數(shù)”，不是“函數(shù)”；詳見解析（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)的定義逐個檢驗可得；

（2）根據(jù)題意可得恒成立，結(jié)合恒成立問題可求；

（3）結(jié)合單調(diào)函數(shù)的定義可證單調(diào)函數(shù)均為函數(shù)，通過特殊函數(shù)可得函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)，所以可證結(jié)論.

（1）因為，所以，所以，故是“函數(shù)”； 因為不恒大于0，所以不是“函數(shù)”.

（2）因為函數(shù)是“函數(shù)”，

所以恒成立，

當時，顯然成立；當時，需要，解之得，

綜上可得.

（3）證明：若為單調(diào)遞增函數(shù)，則時，都有成立；

若為單調(diào)遞減函數(shù)，則時，都有成立；所以單調(diào)函數(shù)一定是函數(shù)，即.

反之，函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)，比如，取整函數(shù)是函數(shù)，但是它不是單調(diào)函數(shù).綜上可得.