【題目】如圖,在直角梯形中,,,且,點是中點,現將沿折起,使點到達點的位置.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若與平面所成的角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)
【解析】
第(Ⅰ)問先證平面,由線面垂直證明面面垂直;
第(Ⅱ)問先找垂直關系后建立空間直角坐標系,利用向量法求出兩面的法向量,進而求所成二面角的余弦值.
解:(Ⅰ)證明:∵,,點是中點,
∴,,∴四邊形為平行四邊形,
∴,
又,∴,
∴,,∴平面,
∴平面,
又∵平面,∴平面平面;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面,
∴即為與平面所成的角,
∴,
∵平面,∴,∴為等腰直角三角形,∴,
故為等邊三角形,
取的中點,連結,則,
∵平面,又平面,
∴平面平面,又平面,
∴平面,
以為坐標原點,過點與平行的直線為軸,所在的直線為軸,所在的直線為軸建立空間直角坐標系如圖,
設,則,,,,
從而,,
設平面的一個法向量為,
則由得,令得,
又平面的一個法向量,
則,
所以,平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
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【題目】[選修4-4:坐標系與參數方程]
在平面直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數,),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(Ⅰ)若,求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)若直線與曲線有兩個不同的交點,求的取值范圍.
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【題目】如圖,長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,點P為DD1的中點,點M為BB1的中點.
(1)求證:PB1⊥平面PAC;
(2)求直線CM與平面PAC所成角的正弦值.
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【題目】某運動隊從四位運動員中選拔一人參加某項賽事,在選拔結果公布前,甲、乙、丙、丁四位教練對這四位運動員預測如下:甲說:“是或被選中”; 乙說:“是被選中”;丙說:“,均未被選中”; 丁說:“是被選中”.若這四位教練中只有兩位說的話是對的,則獲得參賽資格的運動員是____.
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【題目】如果底面是菱形的直棱柱(側棱與底面垂直的棱柱)的所有棱長都相等,,E,M,N分別為的中點,現有下列四個結論:①平面②③平面④異面真線與MN所成的角的余弦值為,其中正確結論的個數為( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】若存在常數,使得對定義域內的任意,都有成立,則稱函數在其定義域 上是“利普希茲條件函數”.
(1)若函數是“利普希茲條件函數”,求常數的最小值;
(2)判斷函數是否是“利普希茲條件函數”,若是,請證明,若不是,請說明理由;
(3)若是周期為2的“利普希茲條件函數”,證明:對任意的實數,都有.
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【題目】為了解人們對于國家新頒布的“生育二胎放開”政策的熱度,現在某市進行調查,隨機調查了50人,他們年齡大點頻率分布及支持“生育二胎”人數如下表:
年齡 | ||||||
頻率 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
支持“生育二胎” | 4 | 5 | 12 | 8 | 2 | 1 |
(1)由以上統(tǒng)計數據填下面2乘2列聯(lián)表,并問是否有99%的把握認為以45歲為分界點對“生育二胎放開”政策的支持度有差異:
(2)若對年齡在的被調查人中隨機選取兩人進行調查,恰好這兩人都支持“生育二胎放開”的概率是多少?
參考數據: , , .
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【題目】隨著我國經濟的飛速發(fā)展,人民生活水平得到很大提高,汽車已經進入千千萬萬的家庭.大部分的車主在購買汽車時,會在轎車或者中作出選擇,為了研究某地區(qū)哪種車型更受歡迎以及汽車一年內的行駛里程,某汽車銷售經理作出如下統(tǒng)計:
購買了轎車(輛) | 購買了(輛) | |
歲以下車主 | ||
歲以下車主 |
(1)根據表,是否有的把握認為年齡與購買的汽車車型有關?
(2)圖給出的是名車主上一年汽車的行駛里程,求這名車主上一年汽車的平均行駛里程(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表);
(3)用分層抽樣的方法從歲以上車主中抽取人,再從這人中隨機抽取人贈送免費保養(yǎng)券,求這人中至少有輛轎車的概率。
附:,
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【題目】漢字聽寫大會不斷創(chuàng)收視新高,為了避免“書寫危機”,弘揚傳統(tǒng)文化,某市大約10萬名市民進行了漢字聽寫測試現從某社區(qū)居民中隨機抽取50名市民的聽寫測試情況,發(fā)現被測試市民正確書寫漢字的個數全部在160到184之間,將測試結果按如下方式分成六組:第1組,第2組,,第6組,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
若電視臺記者要從抽取的市民中選1人進行采訪,求被采訪人恰好在第2組或第6組的概率;
試估計該市市民正確書寫漢字的個數的平均數與中位數;
已知第4組市民中有3名男性,組織方要從第4組中隨機抽取2名市民組成弘揚傳統(tǒng)文化宣傳隊,求至少有1名女性市民的概率.
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