Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）=﹣2x+1且f（2）=15．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=（2﹣2m）x﹣f（x）；
①若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
②求函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)f（x）=ax2+bx+c，

∵f（2）=15，f（x+1）﹣f（x）=﹣2x+1，

∴4a+2b+c=15；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=﹣2x+1；

∴2a=﹣2，a+b=1，4a+2b+c=15，解得a=﹣1，b=2，c=15，

∴函數(shù)f（x）的表達式為f（x）=﹣x2+2x+15

（2）解：∵g（x）=（2﹣2m）x﹣f（x）=x2﹣2mx﹣15的圖象是開口朝上，且以x=m為對稱軸的拋物線，

①若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)函數(shù)，則m≤0，或m≥2；

②當m≤0時，g（x）在[0，2]上為增函數(shù)，當x=0時，函數(shù)g（x）取最小值﹣15；

當0＜m＜2時，g（x）在[0，m]上為減函數(shù)，在[m，2]上為增函數(shù)，當x=m時，函數(shù)g（x）取最小值﹣m2﹣15；

當m≥2時，g（x）在[0，2]上為減函數(shù)，當x=2時，函數(shù)g（x）取最小值﹣4m﹣11；

∴函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值為

【解析】（1）據(jù)二次函數(shù)的形式設(shè)出f（x）的解析式，將已知條件代入，列出方程，令方程兩邊的對應(yīng)系數(shù)相等解得．（2）函數(shù)g（x）的圖象是開口朝上，且以x=m為對稱軸的拋物線，①若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)函數(shù)，則m≤0，或m≥2；②分當m≤0時，當0＜m＜2時，當m≥2時三種情況分別求出函數(shù)的最小值，可得答案．
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減即可以解答此題．