【題目】設函數,.
(1)當時,函數,在處的切線互相垂直,求的值;
(2)當函數在定義域內不單調時,求證:;
(3)是否存在實數,使得對任意,都有函數的圖象在的圖象的下方?若存在,請求出最大整數的值;若不存在,請說理由.(參考數據:,)
【答案】(1);(2)見解析;(3)1
【解析】分析:(1)求導得切線斜率為和,由垂直得斜率積為-1,從而得解;
(2),求導得,令,要使函數在定義域內不單調,只需要在有非重根,利用二次方程根的分別即可得解;
(3)對恒成立,令,,令,存在,使得,即,則,取到最小值, 所以,即在區(qū)間內單調遞增,從而得解.
詳解:(1)當時,,則在處的斜率為,
又在處的斜率為,則,解得 .
(2)函數,
則 .
∵,∴,令,
要使函數在定義域內不單調,只需要在有非重根,
由于開口向上,且
只需要,得,
因為,所以,
故,當且僅當時取等號,命題得證 .
(3)假設存在實數滿足題意,則不等式對恒成立,
即對恒成立 .
令,則,
令,則,
因為在上單調遞增,,,且的圖象在上不間斷,
所以存在,使得,即,則,
所以當時,單調遞減;當時,單調遞增.
則取到最小值,
所以,即在區(qū)間內單調遞增,
所以,
所以存在實數滿足題意,且最大整數的值為1 .
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)通過調查問卷(滿分50分)的形式對本企業(yè)900名員工的工作滿意程度進行調查,并隨機抽取了其中30名員工(16名女工,14名男工)的得分,如下表:
女 | 47 | 36 | 32 | 48 | 34 | 44 | 43 | 47 | 46 | 41 | 43 | 42 | 50 | 43 | 35 | 49 |
男 | 37 | 35 | 34 | 43 | 46 | 36 | 38 | 40 | 39 | 32 | 48 | 33 | 40 | 34 |
(1)根據以上數據,估計該企業(yè)得分大于45分的員工人數;
(2)現用計算器求得這30名員工的平均得分為40.5分,若規(guī)定大于平局得分為 “滿意”,否則為 “不滿意”,請完成下列表格:
“滿意”的人數 | “不滿意”的人數 | 合計 | |
女員工 | 16 | ||
男員工 | 14 | ||
合計 | 30 |
(3)根據上述表中數據,利用獨立性檢驗的方法判斷,能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為該企業(yè)員工“性別”與“工作是否滿意”有關?
參考數據:
P(K2K) | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
K | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】定義在D上的函數,如果滿足:對任意,存在常數,都有成立,則稱是D上的有界函數,其中M稱為函數的上界已知函數
當,求函數在上的值域,并判斷函數在上是否為有界函數,請說明理由;
若函數在上是以3為上界的有界函數,求實數a的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1).現有下列命題:
①f(﹣x)=﹣f(x);
②f( )=2f(x)
③|f(x)|≥2|x|
其中的所有正確命題的序號是( )
A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②
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【題目】一種藥在病人血液中的含量不低于2克時,它才能起到有效治療的作用,已知每服用且克的藥劑,藥劑在血液中的含量克隨著時間小時變化的函數關系式近似為,其中.
若病人一次服用9克的藥劑,則有效治療時間可達多少小時?
若病人第一次服用6克的藥劑,6個小時后再服用3m克的藥劑,要使接下來的2小時中能夠持續(xù)有效治療,試求m的最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設等差數列{an}的公差為d,點(an , bn)在函數f(x)=2x的圖象上(n∈N*).
(1)若a1=﹣2,點(a8 , 4b7)在函數f(x)的圖象上,求數列{an}的前n項和Sn;
(2)若a1=1,函數f(x)的圖象在點(a2 , b2)處的切線在x軸上的截距為2﹣ ,求數列{ }的前n項和Tn .
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【題目】在平面直角坐標系中,已知點,直線,動直線垂直于點,線段的垂直平分線交于點,設點的軌跡為.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)以曲線上的點為切點做曲線的切線,設分別與、軸交于兩點,且恰與以定點為圓心的圓相切.當圓的面積最小時,求與面積的比.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】說明:請考生在(A)、(B)兩個小題中任選一題作答。
(A)已知函數;
(1)求的零點;
(2)若有三個零點,求實數的取值范圍.
(B)已知函數
(1)求的零點;
(2)若,有4個零點,求的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某高校為調查學生喜歡“應用統(tǒng)計”課程是否與性別有關,隨機抽取了選修課程的60名學生,得到數據如下表:
喜歡統(tǒng)計課程 | 不喜歡統(tǒng)計課程 | 合計 | |
男生 | 20 | 10 | 30 |
女生 | 10 | 20 | 30 |
合計 | 30 | 30 | 60 |
(1)判斷是否有99.5%的把握認為喜歡“應用統(tǒng)計”課程與性別有關?
(2)用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計課程的學生中抽取6名學生作進一步調查,將這6名學生作為一個樣本,從中任選3人,求恰有2個男生和1個女生的概率.
下面的臨界值表供參考:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中)
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