【題目】定義:已知函數f(x)在[m,n](m<n)上的最小值為t,若t≤m恒成立,則稱函數f(x)在[m,n](m<n)上具有“DK”性質.例如函數 在[1,9]上就具有“DK”性質.
(1)判斷函數f(x)=x2﹣2x+2在[1,2]上是否具有“DK”性質?說明理由;
(2)若g(x)=x2﹣ax+2在[a,a+1]上具有“DK”性質,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵f(x)=x2﹣2x+2,x∈[1,2],
對稱軸x=1,開口向上.
當x=1時,取得最小值為f(1)=1,
∴f(x)min=f(1)=1≤1,
∴函數f(x)在[1,2]上具有“DK”性質
(2)解:g(x)=x2﹣ax+2,x∈[a,a+1],其圖象的對稱軸方程為 .
①當 ,即a≥0時, .
若函數g(x)具有“DK”性質,則有2≤a總成立,即a≥2.
②當 ,即﹣2<a<0時, .
若函數g(x)具有“DK”性質,則有 總成立,解得a無解.
③當 ,即a≤﹣2時,g(x)min=g(a+1)=a+3.
若函數g(x)具有“DK”性質,則有a+3≤a,解得a無解.
綜上所述,若g(x)=x2﹣ax+2在[a,a+1]上具有“DK”性質,則a≥2
【解析】(1)直接根據新定義進行判斷即可.(2)根據二次函數的性質,求出對稱軸,對其進行討論,根據新定義求解.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓過點A(2,1),離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓相交于B,C兩點(異于點A),線段BC被y軸平分,且,求直線l的方程.
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【題目】已知橢圓:的離心率為,且過點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知橢圓的左焦點為,直線與橢圓交于不同兩點,(都在軸上方),且.
(。┤,求的面積;
(ⅱ)直線是否恒過定點?若過定點,求出該定點的坐標;若不過定點,請說明理由.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
平面直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),以原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)寫出直線的極坐標方程與曲線的直角坐標方程;
(2)已知與直線平行的直線過點,且與曲線交于兩點,試求.
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【題目】菜農定期使用低害殺蟲農藥對蔬菜進行噴灑,以防止害蟲的危害,但采集上市時蔬菜仍存有少量的殘留農藥,食用時需要用清水清洗干凈,下表是用清水(單位:千克)清洗該蔬菜1千克后,蔬菜上殘留的農藥(單位:微克)的統計表:
(1)令,利用給出的參考數據求出關于的回歸方程.(,精確到0.1)
參考數據:,,
其中,
(2)對于某種殘留在蔬菜上的農藥,當它的殘留量不高于20微克時對人體無害,為了放心食用該蔬菜,請估計至少需用用多少千克的清水清洗1千克蔬菜?(精確到0.1,參考數據)
附:對于一組數據,,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為
,.
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【題目】已知全集U=R,集合A={x|x<﹣2或3<x≤4},B={x|x2﹣2x﹣15≤0}.求:
(1)UA;
(2)A∪B;
(3)若C={x|x>a},且B∩C=B,求a的范圍.
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【題目】如圖,四棱柱中,底面,底面是梯形,,,.
(1)求證:平面平面;
(2)在線段上是否存在一點,使平面,若存在,請確定點的位置;若不存在,請說明理由.
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【題目】下表提供了某廠節(jié)油降耗技術發(fā)行后生產甲產品過程中記錄的產量 x (噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對應數據.
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)請畫出上表數據的散點圖;
(2)請根據上表提供的數據,用最小二乘法求出 y 關于 x 的線性回歸方程
(3)已知該廠技改前 100 噸甲產品的生產能耗為 90 噸標準煤,試根據(2)求出的線性回歸方程,預測生產100 噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤?(參考數值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
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