【題目】已知拋物線(),焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,過點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限).
(Ⅰ)若點(diǎn)焦點(diǎn)重合,且弦長,求直線的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,直線交x軸于點(diǎn),且,求證:點(diǎn)B的坐標(biāo)是,并求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.
【答案】(Ⅰ) 或.(Ⅱ)
【解析】
試題分析:(Ⅰ)確定拋物線的方程,設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用弦長|PQ|=2,即可求直線l的方程;(Ⅱ)設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,結(jié)合向量知識,證明B(-,0),確定出,或m的范圍,表示出點(diǎn)B到直線l的距離d,即可求得取值范圍
試題解析:(Ⅰ)解:由題意可知,,故拋物線方程為,焦點(diǎn).
設(shè)直線l的方程為,,.
由消去x,得.所以△=n2+1>0,.
因為,點(diǎn)A與焦點(diǎn)F重合,
所以.
所以n2=1,即n=±1.所以直線l的方程為或,
即或.
(Ⅱ)證明:設(shè)直線l的方程為(m≠0),,則
由消去x,得,
因為,所以△=m2+4x0>0,y1+y2=m,y1y2=-x0.
設(shè)B(xB,0),則.
由題意知,,所以,
即.
顯然,所以,即證B(-x0,0).
由題意知,△MBQ為等腰直角三角形,所以,即,也即,
所以,所以,
即,所以>0,即
又因為,所以.,
所以d的取值范圍是.
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【題目】(本小題滿分14分)體育測試成績分為四個等級:優(yōu)、良、中、不及格.某班50名學(xué)生參加測試的結(jié)果如下:
等級 | 優(yōu) | 良 | 中 | 不及格 |
人數(shù) | 5 | 19 | 23 | 3 |
(1)從該班任意抽取1名學(xué)生,求這名學(xué)生的測試成績?yōu)?/span>“良”或“中”的概率;
(2)測試成績?yōu)?/span>“優(yōu)”的3名男生記為,,,2名女生記為,.現(xiàn)從這5人中任選2人參加學(xué)校的某項體育比賽.
① 寫出所有等可能的基本事件;
② 求參賽學(xué)生中恰有1名女生的概率.
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【題目】為了普及法律知識,達(dá)到“法在心中”的目的,某市法制辦組織了普法知識競賽.統(tǒng)計局調(diào)查隊隨機(jī)抽取了甲、乙兩單位中各5名職工的成績,成績?nèi)缦卤恚?/span>
甲單位 | 87 | 88 | 91 | 91 | 93 |
乙單位 | 85 | 89 | 91 | 92 | 93 |
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別求出甲、乙兩單位職工成績的平均數(shù)和方差,并判斷哪個單位對法律知識的掌握更穩(wěn)定;
(2)用簡單隨機(jī)抽樣法從乙單位5名職工中抽取2名,他們的成績組成一個樣本,求抽取的2名職工的分?jǐn)?shù)差至少是4的概率.
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【題目】心理學(xué)家發(fā)現(xiàn),學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間,上課開始時,學(xué)生的興趣激增,中間有一段不太長的時間,學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開始分散,并趨于穩(wěn)定.分析結(jié)果和實驗表明,設(shè)提出和講述概念的時間為(單位:分),學(xué)生的接受能力為 (值越大,表示接受能力越強(qiáng)),
(1)開講后多少分鐘,學(xué)生的接受能力最強(qiáng)?能維持多少時間?
(2)試比較開講后5分鐘、20分鐘、35分鐘,學(xué)生的接受能力的大;(3)若一個數(shù)學(xué)難題,需要56的接受能力以及12分鐘時間,老師能否及時在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講述完這個難題?
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【題目】已知直線().
(1)證明:直線過定點(diǎn);
(2)若直線不經(jīng)過第四象限,求的取值范圍;
(3)若直線軸負(fù)半軸于,交軸正半軸于,△的面積為(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求的最小值,并求此時直線的方程.
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【題目】為了對某課題進(jìn)行研究,用分層抽樣方法從三所高校的相關(guān)人員中,抽取若干人組成研究小組,有關(guān)數(shù)據(jù)見下表(單位:人)
高校 | 相關(guān)人數(shù) | 抽取人數(shù) |
A | 18 | |
B | 36 | 2 |
C | 54 |
(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)若從高校抽取的人中選2人作專題發(fā)言,求這二人都來自高校的概率.
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【題目】如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中, CC1⊥平面ABC, AC⊥BC, AB1的中點(diǎn)為D,B1C∩BC1=E. 求證:
(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)AC⊥平面BCC1B1.
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