Question

已知函數(shù)f（x）=|x-3|-2，g（x）=-|x+1|+4．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的值不大于1，求x的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集為R，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）直接由題意列絕對值的不等式，求解絕對值不等式得答案；
（Ⅱ）由公式|a|+|b|≥|a+b|求解f（x）-g（x）的最小值，再由m+1小于等于該最小值得答案．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的值不大于1，即|x-3|-2≤1，|x-3|≤3，
則-3≤x-3≤3，∴0≤x≤6．
∴x的取值范圍是[0，6]；
（Ⅱ）f（x）-g（x）=（|x-3|-2）-（-|x+1|+4）=|x-3|+|x+1|-6．
∵對任意x∈R，f（x）-g（x）=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6
≥|（3-x）+（x+1）|-6=4-6=-2．
于是m+1≤-2，解得m≤-3．
即m的取值范圍是：（-∞，-3]．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了絕對值不等式的解法，考查了公式|a|+|b|≥|a+b|的應(yīng)用，是中檔題．