Question

中國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽總決賽采用七場(chǎng)四勝制（即先勝四場(chǎng)者獲勝）．進(jìn)入總決賽的甲乙兩隊(duì)中，若每一場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率為

2

3

，乙隊(duì)獲勝的概率為

1

3

，假設(shè)每場(chǎng)比賽的結(jié)果互相獨(dú)立．現(xiàn)已賽完兩場(chǎng)，乙隊(duì)以2：0暫時(shí)領(lǐng)先．
（Ⅰ）求甲隊(duì)獲得這次比賽勝利的概率；
（Ⅱ）設(shè)比賽結(jié)束時(shí)兩隊(duì)比賽的場(chǎng)數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）甲隊(duì)獲勝包括甲隊(duì)以4：2獲勝和甲隊(duì)以4：3獲勝兩種情況．分別求出這兩種情況的概率，二者之和就是甲隊(duì)獲得這次比賽勝利的概率．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X可能的取值為4，5，6，7．分別求出P（X=4），P（X=5），P（X=6），P（X=7），由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)甲隊(duì)獲勝為事件A，
則甲隊(duì)獲勝包括甲隊(duì)以4：2獲勝和甲隊(duì)以4：3獲勝兩種情況．
設(shè)甲隊(duì)以4：2獲勝為事件A₁，
則P(A1)=(

2

3

)4=

16

81

…（2分）
設(shè)甲隊(duì)以4：3獲勝為事件A₂，
則P(A2)=

C

1 4

×

1

3

×(

2

3

)3×

2

3

=

64

243

…（4分）
∴P(A)=P(A1)+P(A2)=

16

81

+

64

243

=

112

243

…（6分）
（Ⅱ）隨機(jī)變量X可能的取值為4，5，6，7．
P(X=4)=(

1

3

)2=

1

9

…（7分）
P(X=5)=

C

1 2

×

1

3

×

2

3

×

1

3

=

4

27

…（8分）
P(X=6)=

C

1 3

×

1

3

×(

2

3

)2×

1

3

+(

2

3

)4=

28

81

…（9分）
P(X=7)=

C

1 4

×

1

3

×(

2

3

)3=

32

81

…（10分）
（或者P(X=7)=

C

1 4

×

1

3

×(

2

3

)3×

1

3

+

C

3 4

(

2

3

)3×

1

3

×

2

3

=

32

243

+

64

243

=

32

81

）
∴X的概率分布為：

X	4	5	6	7
P	1 9	4 27	28 81	32 81

EX=4×

1

9

+5×

4

27

+6×

28

81

+7×

32

81

=

488

81

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題要注意分類討論思想的合理運(yùn)用．