Question

設(shè)f^-1（x）是函數(shù)f（x）=

1

2

（a^x-a^-x）（a＞1）的反函數(shù)，則使f^-1（x）＞1成立的x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,反函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用一元二次方程的解法得出函數(shù)f（x）=

1

2

（a^x-a^-x）（a＞1）的反函數(shù)，再通過(guò)分類討論即可解出根式類型的不等式的解集．

解答： 解：由y=

1

2

(ax-a-x)，化為（a^x）²-2ya^x-1=0，解得a^x=y±

y2+1

，
∵a^x＞0，∴ax=y+

y2+1

．
把x與y互換可得ay=x+

x2+1

，
∴y=loga(x+

x2+1

)，
∴f^-1（x）=loga(x+

x2+1

)（x∈R）．（a＞1）．
∵f^-1（x）＞1成立，∴loga(x+

x2+1

)＞1，
又a＞1，
∴x+

x2+1

＞a，
①當(dāng)x＞a時(shí)，上述不等式恒成立；
②當(dāng)x≤a時(shí)，上述不等式變?yōu)?span id="fxr2fir" class="MathJye">

x2+1

＞a-x，
兩邊平方化為2ax＞a²-1，∴x＞

a2-1

2a

．
因此

a2-1

2a

＜x≤a．
綜上可得：使f^-1（x）＞1成立的x的取值范圍是(

a2-1

2a

，+∞)．
故答案為：(

a2-1

2a

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的反函數(shù)的方法、分類討論、解根式類型的方程的方法，屬于中檔題．