Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，，為橢圓上的三點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，當(dāng)的中點(diǎn)恰為點(diǎn)時(shí)，判斷的面積是否為常數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積為常數(shù)，見解析.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上和離心率，得出的等量關(guān)系，解方程求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去，利用韋達(dá)定理可求出的底和高，將面積表示出來，可得面積是常數(shù).

（1）由已知易得，，

∴，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）①若點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)（左頂點(diǎn)一樣），

則，∵，在線段上，

∴，

此時(shí)軸，求得，

∴的面積等于.

②若點(diǎn)不是橢圓的左、右頂點(diǎn)，

則設(shè)直線的方程為，，，

由

得，

則，，

∴的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

將其代入橢圓方程，化簡(jiǎn)得.

∴.

∵點(diǎn)到直線的距離，

∴的面積.

綜上可知，的面積為常數(shù).