(06年江西卷理)(12分)
如圖,橢圓Q:(a>b>0)的右焦點F(c,0),過點F的一動直線m繞點F轉(zhuǎn)動,并且交橢圓于A、B兩點,P是線段AB的中點
(1)求點P的軌跡H的方程
(2)在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q£ ),確定q的值,使原點距橢圓的右準線l最遠,此時,設(shè)l與x軸交點為D,當直線m繞點F轉(zhuǎn)動到什么位置時,三角形ABD的面積最大?
解析:如圖,(1)設(shè)橢圓Q:(a>b>0)
上的點A(x1,y1)、B(x2,y2),又設(shè)P點坐標為P(x,y),則
1°當AB不垂直x軸時,x1¹x2,
由(1)-(2)得
b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0
\b2x2+a2y2-b2cx=0…………(3)
2°當AB垂直于x軸時,點P即為點F,滿足方程(3)
故所求點P的軌跡方程為:b2x2+a2y2-b2cx=0
(2)因為,橢圓 Q右準線l方程是x=,原點距l(xiāng)
的距離為,由于c2=a2-b2,a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q£)
則==2sin(+)
當q=時,上式達到最大值。此時a2=2,b2=1,c=1,D(2,0),|DF|=1
設(shè)橢圓Q:上的點 A(x1,y1)、B(x2,y2),三角形ABD的面積
S=|y1|+|y2|=|y1-y2|
設(shè)直線m的方程為x=ky+1,代入中,得(2+k2)y2+2ky-1=0
由韋達定理得y1+y2=,y1y2=,
4S2=(y1-y2)2=(y1+y2)2-4 y1y2=
令t=k2+1³1,得4S2=,當t=1,k=0時取等號。
因此,當直線m繞點F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時,三角形ABD的面積最大。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(06年江西卷理)如圖,在四面體ABCD中,截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球(與四個面都相切的球)球心O,且與BC,DC分別截于E、F,如果截面將四面體分成體積相等的兩部分,設(shè)四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC的表面積分別是S1,S2,則必有( )
A.S1<S2 B.S1>S
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(06年江西卷理)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面為直角三角形,ÐACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一動點,則CP+PA1的最小值是___________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(06年江西卷理)(12分)
如圖,已知△ABC是邊長為1的正三角形,M、N分別是
邊AB、AC上的點,線段MN經(jīng)過△ABC的中心G,
設(shè)ÐMGA=a()
(1)試將△AGM、△AGN的面積(分別記為S1與S2)表示為a的函數(shù)
(2)求y=的最大值與最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(06年江西卷理)(12分)
如圖,在三棱錐A-BCD中,側(cè)面ABD、ACD
是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,
且AD=,BD=CD=1,另一個側(cè)面是正三角形
(1)求證:AD^BC
(2)求二面角B-AC-D的大小
(3)在直線AC上是否存在一點E,使ED與面BCD
成30°角?若存在,確定E的位置;若不存在,說明理由。
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