【題目】已知函數(shù) ,若對任意,存在,,則實數(shù)的取值范圍為_____.
【答案】
【解析】
利用導數(shù)求函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上的最小值,把對任意x1∈(﹣1,1),存在x2∈(3,4),f(x1)≥g(x2)轉(zhuǎn)化為g(x)在(3,4)上的最小值小于等于1有解.
解:由f(x)=ex﹣x,得f′(x)=ex﹣1,
當x∈(﹣1,0)時,f′(x)<0,當x∈(0,1)時,f′(x)>0,
∴f(x)在(﹣1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,
∴f(x)min=f(0)=1.
對任意x1∈(﹣1,1),存在x2∈(3,4),f(x1)≥g(x2),
即g(x)在(3,4)上的最小值小于等于1,
函數(shù)g(x)=x2﹣bx+4的對稱軸為x=.
當≤3,即b≤6時,g(x)在(3,4)上單調(diào)遞增,g(x)>g(3)=13﹣3b,
由13﹣3b≤1,得b≥4,∴4≤b≤6;
當≥4,即b≥8時,g(x)在(3,4)上單調(diào)遞減,g(x)>g(4)=20﹣4b,
由20﹣4b≤1,得b≥,∴b≥8;
當3<<4,即6<b<8時,g(x)在(3,4)上先減后增,,
由≤1,解得或b,∴6<b<8.
綜上,實數(shù)b的取值范圍為[4,+∞).
故答案為:[4,+∞).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)對一切實數(shù)都有成立,且.
(1)求的值;
(2)求的解析式,并用定義法證明在單調(diào)遞增;
(3)已知,設P:,不等式恒成立,Q:時,是單調(diào)函數(shù)。如果滿足P成立的的集合記為A,滿足Q成立的集合記為B,求(R為全集)。
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【題目】數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)n an =2n-1,則{an}的前64項和為( )
A. 4290 B. 4160 C. 2145 D. 2080
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【題目】本小題12分)
調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者幫助,用簡單隨機抽樣方法從該地調(diào)查500位老年人,結(jié)果如下:
性別 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
①估計該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例。
②能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關?
附:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若對任意實數(shù)都有函數(shù)的圖象與直線相切,則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”,設函數(shù),其中.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)已知函數(shù)為“恒切函數(shù)”,
①求實數(shù)的取值范圍;
②當取最大值時,若函數(shù)也為“恒切函數(shù)”,求證:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位同學進入新華書店購買數(shù)學課外閱讀書籍,經(jīng)過篩選后,他們都對三種書籍有購買意向,已知甲同學購買書籍的概率分別為,乙同學購買書籍的概率分別為,假設甲、乙是否購買三種書籍相互獨立.
(1)求甲同學購買3種書籍的概率;
(2)設甲、乙同學購買2種書籍的人數(shù)為,求的概率分布列和數(shù)學期望.
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