Question

【題目】若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有函數(shù)的圖象與直線相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”，設(shè)函數(shù)，其中.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）已知函數(shù)為“恒切函數(shù)”，

①求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②當(dāng)取最大值時(shí)，若函數(shù)也為“恒切函數(shù)”，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）①設(shè)切點(diǎn)為，求出，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出故實(shí)數(shù)的取值范圍為；②當(dāng)取最大值時(shí)，，，，，，因?yàn)楹瘮?shù)也為“恒切函數(shù)”，故存在，使得，，由得，，設(shè)，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

詳解：（1）.當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，得，由得，由得，

得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上遞增.

（2）①若函數(shù)為“恒切函數(shù)”，則函數(shù)的圖象與直線相切，

設(shè)切點(diǎn)為，則且，即，.

因?yàn)楹瘮?shù)為“恒切函數(shù)”，所以存在，使得，，即，得，，設(shè).

則，，得，得，

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而

故實(shí)數(shù)的取值范圍為.

②當(dāng)取最大值時(shí)，，，，，

，因?yàn)楹瘮?shù)也為“恒切函數(shù)”，故存在，使得，，由得，，設(shè)，

則，得，得，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

1.在單調(diào)遞增區(qū)間上，，故，由，得；

2. 在單調(diào)遞增區(qū)間上，，

，又的圖象在上不間斷，

故在區(qū)間上存在唯一的，使得，故.

此時(shí)由，得，

函數(shù)在上遞增，，，故.

綜上所述，.